初等數學研究途徑：結構是基礎 轉化是關鍵
——2012年高考數學北京理科第19題再探究

趙臨龍

（安康學院數學與應用數學研究所，陜西安康 725000）

初等數學研究途徑：結構是基礎 轉化是關鍵
——2012年高考數學北京理科第19題再探究

趙臨龍

（安康學院數學與應用數學研究所，陜西安康 725000）

對2012年高考數學北京理科第19題，利用蝴蝶定理研究其解法，給出考題的新解法，揭示考題與蝴蝶定理的內在關系，并給出考題的推廣．

高考題；蝴蝶定理；解法；推廣

考題 已知曲線C：（5－ m）x2＋（m－2）y2= 8（m∈R）．

（1）若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，求m的取值范圍；

（2）設m = 4，曲線C與y軸的交點為A，B(點A位于點B的上方)，直線y = kx + 4與曲線C交于不同的兩點M、N，直線y=1與直線BM交于點G．求證：A，G，N三點共線．

2013年，文[1]分析學生用以下常規方法[1]74-77：

如圖1．當m = 4，曲線C：x2+ 2y2= 8與y軸交點坐標A（0，2），B（0，-2）．

設直線y = kx+4與曲線C交于不同的兩點為M（x1，y1），N（x2，y2），由x2+ 2y2= 8、y = kx + 4得

之后就此擱淺．看來，對此題真有研究的價值．

1 圖形結構分析

如圖1，橢圓內的直線構成的圖形具有“蝴蝶定理”的形式．因此，本題可考慮用“蝴蝶定理”解決．

圖 1

圖 2

圖 3

2 蝴蝶定理結論

命題1 （坎迪蝴蝶定理）[2]8-11如圖2、圖3，過二次曲線Γ的割線EF上除與Γ的交點外任意一點P引任意兩弦直線AB、CD，AD和BC交 EF于J、I，則，其中等式中線段均為有向線段

3 考題解法研究

3.1 橢圓內型蝴蝶定理應用

當點G在橢圓內，構成橢圓內型蝴蝶定理，因此有解法．

解法1：如圖1，過點G（x0，y0）作與x軸平行的直線EF，分別交橢圓和直線對AB、MN于點E、F；J、I，其x坐標分別為xE、xF、xJ、xI=0，則由橢圓內蝴蝶定理，得：

由共線的三點A、G、N和共線的三點B、G、M，得：

（結合（※））

由（3）和（4），求得：

此時，由直線y=kx+4，得：kx1=y0-4，結合（5）得到：

于是，考題的結論（2）獲得證明．

命題2 如圖1，過橢圓C：x2+ 2y2= 8外一點P（0，4）引C的動割線PMN方程為y = kx + 4（k > 0），直線ANl'和直線BM交于點G（x0，y0）（y0> 0），過點G作與x軸平行的直線EF，分別交C和直線對AB、MN于點E、F；J、I，則點G的軌跡是定直線y=1，

3.2 橢圓外型蝴蝶定理應用

當點P在橢圓外時，構成橢圓外型蝴蝶定理，因此有解法．

解法2：如圖1，連接PG交橢圓C于兩點M'（x1，y1），N'（x2，y2），設直線PM'N'方程為y=k'x+4，則仿解法1，得：

而且，

有|M'P|=m|x1|，|N'P|=m|x2|．現由蝴蝶定理，得：

此時，由直線方程y = k'x + 4，得到結果：y0= k'x0+ 4 =－3 + 4 = 1．

解法反思：解法2較解法1簡單明了，但沒有解法1的復雜性，也就不會對解法1復雜解法進行簡化研究．因此，研究才是追求簡單解法的根本所在．

如解法2，在討論蝴蝶定理結論（7）時，利用了（6）中“對稱”形式的2個結論，而解法1，在討論與蝴蝶定理結論（4）“對稱”的結論時，僅利用了（※）中的“對稱”形式的1個結論．這種研究，又給我們一個“新”的啟發，給出解法1的新解法．

3.3 再研究解法

解法3：在解法1中，對于（2），直接考慮（※）中的2個“對稱”式子，則有結果：

可見，本題的“對稱結構”，是“研究”解決問題的基礎．因此，以基本結構為基礎，強化轉化研究是初等數學研究的重要途徑．另外，解法1通過相關的復雜“信息”，建立相關關系式，它較解法2和解法3更能給出新的結果．因此，信息是發現結論的重要研究“要素”．

[1]王文英，楊平，王樹文.利用學生解題時的糾結點，做好解題教學[J].中學數學教學參考，2013（1-2）.

[2]趙臨龍.當前我國初數研究存在的三種不良傾向——兼談2003年北京市高考中的蝴蝶定理[J].重慶三峽學院學報，2012（3）：10-13.

（責任編輯：于開紅）

A Study Method of Elementary Mathematics: Basic Structure is the Base While Transformation is the Key: with Special Reference to the 19thMathematics Problem in the 2012-year College

Entrance Examination in Beijing ZHAO Linlong
(Mathematics and Applied Mathematics Research Institute, Ankang University,Ankang, Shanxi 725000)

The 19thmathematics problem in 2012-year college entrance examination in Beijing is studied under the Butterfly Theorem and a solution is given with the new method. The interrelation between test questions and the Butterfly Theorem is revealed, and the questions are spread.

college entrance examination; the Butterfly Theorem; solution; spreading

O123

A

1009-8135（2014）03-0018-03

2014-02-19

趙臨龍（1960-），男，陜西西安人，安康學院教授，主要研究幾何．

陜西特色專業建設項目（2011-59）、安康學院重點學科建設項目（ZDXKZX201318）階段性成果