數學在天然腸衣搭配上的應用

楊晶晶+歐冰

摘 要 通過先丈量所有原料，再建立數學模型，利用數學軟件求出模型的最優解，從而得出一套原料搭配的最優方案，并顯著提高腸衣加工公司的生產效率。

關鍵詞 目標函數 LINGO 最優解

中圖分類號：O232 文獻標識碼：A

Application of Mathematics in the Mix of Natural Casings

YANG Jingjing， OU Bing

（Zhongshan Polytechnic， Zhongshan， Guangdong 528404）

Abstract By measuring all the ingredients first， then create a mathematical model， the optimal solution using mathematical software model to arrive at the optimal solution of a mix of materials， and significantly improve the efficiency of the company's production casing processing.

Key words objective function； LINGO； optimal solution

1 提出問題

在腸衣加工廠，工人依靠邊丈量原料長度邊心算方式，將腸衣清洗并整理分割成長度不同的原材料，最后按指定根數和總長度扎成捆做成成品出售。

原材料分割后依據不同長度分檔，隔0.5米為一檔，在該檔位所有長度的腸衣原料，按照該檔位中最低長度計算。腸衣加工幾種常見成品的規格表（見表1），工人以米的單位來丈量，第三種規格的最大長度在14米到26米之間（不包括14和26米）。腸衣加工廠建立以某批次原料描述的一個原料描述表（見表2）。目的是通過先丈量所有原料，后通過內部的計劃和商討改變組裝工藝，設計出一個原料搭配的最優方案，工人能根據這個優化方案“照方抓藥”進行生產，并能提高該公司的生產效率。

表1 成品規格表

2 問題分析，模型建立

可以看出腸衣加工公司提出該問題的目的是為了提高生產效率。而生產效率的提高，可以通過改變成品的扎捆方式和提高成品的均勻性、原料的使用率、工人的工作效率等方面來實現該公司生產效率的提高。若要得到的成品捆數最多，考慮到最短長度最長成品越多越好，原料有剩余降級使用的情況，所以需從第三種規格考慮，先求出第三種規格的能扎捆成的最大捆數，得到剩余量，再將剩余的降級到第二種規格中，求出第二規格中能扎捆成的最大捆數，再得到剩余量并以此類推即可。

結合相關資料，我們知道總長度允許有€？.5米的誤差，我們在建立目標函數的時候，每種規格都分別按每捆88.5米、89米、89.5米來建立函數。對于任意的一批材料，為了使成品的捆數最多，建立第三規格的成品捆數最大值： = + + 為了使目標函數更加清晰，讓工人更好地按照方案來“照方抓藥”，我們首先把不同扎捆方式的總捆數（ =1表示每捆長88.5米， =2表示每捆長89米， =3表示每捆長89.5米）分別表示出來，并可由數學軟件lingo來求解得出 = 132， = 5，= 0或者 = 137， = 0， = 0。

第三種規格的目標函數：

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 88.5

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89

= （14 + 14.5 + 15 + 15.5 + 16 + 16.5 + 17 + 17.5 + 18 + 18.5 + 19 + 19.5 + 20 + 20.5 + 21 + 21.5 + 22 + 22.5 + 23.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5 + 25.5） / 89.5

從求解結果可知，能得到的總捆數為137捆。在根據原料描述表我們可查找到：14.5米到14.9米間余留1根和19.5米到19.9米間余留1根，也就是說第三規格降級到第二規格在13.5米到13.9米間的有2根； 14.米到14.5米間余留1根和21.5米到21.9米間余留1根，也就是說同樣第三規格降級到第二規格在13.5米到13.9米間的有2根，所以用兩個解除的需降級的都為2根，降到13.5米到13.9米區間加上原來的25根，一共有腸衣27根。

類似地，我們可以建立第二種規格以及第一種規格的目標函數，并由lingo得出結果：第二種規格 = 37， = 0， = 0 。即求得第二規格的總捆數為37捆。在與原材料表對比后發現在，7米到7.4米間余留24根；7.5米到7.9米間余留24根；8米到8.4米間余留8根；8.5米到8.9米間余留1根；12米到12.4米間余留1根；12.5米到12.9米間余留1根；13米到13.4米間余留1根；總共60根。也就是說第二規格降級到第一規格在6.5米到6.9米間的有60根，降到6.5米到6.9米區間加上原來的21根，一共有腸衣81根。endprint

對于第一規格，我們在設計模型的時候考慮到第一規格剩余量不再降級使用，對此，我們要在第一規格實行利用率最大化，減少企業的浪費程度。為更全面地考慮問題，我們把方程放入管理運籌學軟件以及lingo中分別進行求解，得到的最佳結果為：第一規格的總捆數為19捆。那么原料表中裝出的成品捆數最大值為：

= + + + + + + + + = 193（捆）

3 模型的評價

在建立目標函數時，要充分考慮到目標函數的各項約束條件。比如說，各個未知數均大于0。特別地，對于第三規格中，每一捆的標準根數為5，但是，為了提高原材料的使用率，每一捆的總根數允許比標準少1根。所以在不同的扎捆方式中，實際使用的總根數應該介于4倍的捆數與5倍的捆數之間。這些要求都要在約束條件中體現出來。

另外，為了提高模型結果的正確性，我們采用了兩種不同的數學軟件（lingo、管理運籌學軟件）來求解。甚至于我們還用到了同一軟件的不同版本（lingo9以及lingo11）。事實證明，不同的軟件求解出的結果的確不同，lingo求解出的最大捆數為191捆，而管理運籌學軟件求出的最大捆數為193捆，經過分析我們知道，193捆才是最佳答案。在計算第三規格時，用不同版本的lingo求解，得出的結果也是不一樣的。

模型的優點主要有：（1）模型根據實據數據，考慮根數、丈量誤差等因素來建立，又以求捆數最多的最優解求解，并分級考慮問題，減少降級使用率，充分利用了腸衣的原料，確實做到提高腸衣加工的生產效率；（2）模型能提供較為精準的方案，確保考慮到了求解出的捆數最多的同時，與下一模型的建立提供較好的聯系，規劃性較強。（3）模型的建立最大的特點就是在依據較多的數據基礎上，進行多方案對比比較而得出最優的方案，方案的準確性與可靠性較高。

模型的不足之處主要是由于建立模型是依據某此原料描述表得出，我們并沒有經多個原料描述表加權求平均的方法求出一個比較符合實際的原料描述表。這樣一來，建立的模型與實際模型存在一定的誤差范圍；并且雖然該方案是以求總捆數的最優解來建立最初模型，但在模型的求解過程中，未考慮到公司的經濟效益而提高生產的總捆數。

參考文獻

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