和型組合共振激勵下深海SPAR平臺運動穩定性分析

桑松，李長東，徐學軍，石曉（中國海洋大學工程學院，山東青島26600；2河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京20098；3四川大學水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室，成都60065；海洋石油工程股份有限公司青島分公司，山東青島266555）

和型組合共振激勵下深海SPAR平臺運動穩定性分析

桑松1，2，3，李長東1，徐學軍4，石曉1
（1中國海洋大學工程學院，山東青島266100；2河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京210098；3四川大學水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室，成都610065；4海洋石油工程股份有限公司青島分公司，山東青島266555）

深海SPAR平臺在環境載荷作用下的運動穩定性問題已經成為當前的研究熱點。文章采用理論分析和數值模擬相結合的方式，在不考慮系泊張力影響并且滿足組合共振條件情況下，探討當波浪幅值達到一定程度時垂蕩、縱搖響應的局部分岔現象。結果表明：在組合共振發生時，垂蕩、縱搖響應均變得不穩定，而且縱搖響應幅值較大；垂蕩固有頻率與兩倍的縱搖固有頻率之間的偏差越大，激起縱搖分岔現象需要的波浪幅值越大；波浪頻率在一定范圍內的變化對a5曲線影響不大，但當波浪頻率與垂蕩和縱搖固有頻率之和的偏差超過一定范圍時組合共振現象會消失。

SPAR平臺；和型共振；多尺度法；穩定性

1 引言

隨著我國深海海洋資源的開發，越來越多的浮式海洋平臺投入運營。深海SPAR平臺由于其自身重心較低，水線面小，垂蕩幅值小，初期投資較低等特點，在全世界范圍內得到了廣泛應用。但由于其自身結構特點，其垂蕩與縱搖固有周期比接近1:2，當外界激勵滿足一定條件時會出現混沌和分叉等不穩定運動[1-4]。Rhoh和Choi[5]對規則波中經典Spar平臺的馬休不穩定性進行了研究，指出當平臺的縱搖固有周期與垂蕩固有周期比近似為2:1時，即使波高較小，也會發生縱搖的不穩定運動。通過數值和試驗結果的比較，證實了Spar平臺在縱搖固有周期為垂蕩固有周期的2倍時最容易失穩。

在多自由度非線性系統響應中，除了存在主共振、內共振、超諧共振等共振形式之外，這些頻率還可以存在其他的共振組合，稱為組合共振。組合共振的形式為：

其中：l和rN是整數，并且有M為系統的非線性階數加1，N為自由度數。對于帶平方項非線性振動系統可能存在的組合共振類型為ω≈λm+λk或者ω≈λm-λk，前者為和型組合共振，后者為差型組合共振。因為誘發和型共振的波浪頻率等于垂蕩、縱搖固有頻率之和，更加接近常見波浪頻率，比發生內共振及差型共振的幾率要大得多，所以本文以和型共振為例對Spar平臺的垂蕩-縱搖組合共振運動情況進行分析。

2 平臺運動方程的簡化

由于平臺在深海中受到的首搖激勵力矩很小，并且由于Spar平臺在橫向和縱向是對稱的，所以平臺的運動可以簡化為一個三自由度的運動方程[6-8]：

本文只研究Spar平臺的垂蕩—縱搖耦合運動，所以只用（2）式中的后兩式。其中垂蕩方向合力和縱搖方向的合力矩分別為：

其中：FR是輻射力，FW是波浪激勵力，FWD是波浪漂移阻尼力，FM是系泊力，FHS是靜水回復力，FCurrent是流力，FWind是風力，MR是輻射力矩，MWD是波浪漂移阻尼力矩，MW是波浪激勵力矩，MM是系泊力矩，MHS是靜水回復力矩，MWind是風力矩，MCurrent是流力矩。

本文不考慮風、流及二階力的作用，應用簡化方法研究平臺主體垂蕩-縱搖耦合運動，忽略了波浪漂移阻尼力、波浪漂移阻尼力矩、風力、風力矩、流力和流力矩對Spar平臺主體的影響，方程（2）可進一步簡化為：

3 解析求解分析

不考慮系泊系統的影響同時忽略高階耦合項影響（即μ6=0），采用多尺度法求解垂蕩—縱搖耦合運動方程。引入小參數0<ε<<1；設μi，（i=1,2,4,5）與ε數量級相同，即μi=εμi，為了書寫方便，分別記μi，則（3）式變化為：

將（5）、（6）式代入方程（4）并比較ε同冪次項的系數，可以得到如下一系列線性偏微分方程：

其中：函數A30，A50均為任意的關于T1的函數，他可以由下一步消除永年項的條件來決定。將（8）式代入方程（7）的后兩式得到：

此式的解中含有EXP（±iω3T0），EXP（±iω5T0）的項均為永年項，令這些永年項為零，考慮和型共振，故令ω=ω3+ω5+ετ1，ω3=2ω5+ετ2，消除永年項的條件為：

其中：a3，a5，β3，β5均為T1的函數。

將（10）式代入方程（9）分離實部與虛部，并且均令之為零得到：

對方程（11）聯立求解得到

或者

4 算例分析

本文以某一JIP SPAR[9]平臺參數為例，圖1為τ1=τ2=0時，即波浪頻率等于垂蕩和縱搖固有頻率之和且垂蕩固有頻率是縱搖固有頻率的兩倍時的a3、a5隨波浪幅值的變化曲線，可以看出，此時在波幅很小的時候垂蕩、縱搖響應就發生了局部分岔現象，隨著波浪幅值的增加縱搖也出現了大幅響應而垂蕩響應幅值相對較小，一般不會大于6m。

圖1 τ1=τ2=0時的a3、a5隨波幅變化曲線Fig.1 The curves of a3,a5whenτ1=τ2=0

取τ1=0不變，即波浪激勵頻率等于垂蕩、縱搖固有頻率之和，改變τ2，分別取0.01、0.02、0.03，得到圖2所示的a5曲線。可以看出，當調諧參數τ2增大時，導致分岔現象發生的波浪幅值也隨之增大，可見，垂蕩固有頻率與2倍的縱搖固有頻率之間的偏差越大，激起縱搖分岔現象需要的波浪能量越大。

圖2 a5隨τ2的變化曲線Fig.2 The curve of a5with the change ofτ2

圖3 a5隨τ1的變化曲線Fig.3 The curve of a5with the change ofτ1

圖4 τ1=0，τ2=-0.040 3時的a5曲線Fig.4 The curve of a5whenτ1=0,τ2=-0.040 3

取τ2=0不變，即垂蕩固有頻率等于縱搖固有頻率的兩倍，改變τ1，分別取0.015、0.010、0.005，得到圖3所示的a5曲線。可見，波浪頻率在一定范圍內的變化對a5曲線影響不大。

取平臺垂蕩、縱搖固有頻率分別為0.216 7 rad/s和0.128 5 rad/s，其對應的τ2=-0.040 3，得到圖4所示的τ1= 0、τ2=-0.040 3時的a5曲線，可見在此種情況下會出現大幅的縱搖運動。下面進一步用數值方法分析垂蕩—縱搖組合共振現象。

波浪頻率取為垂蕩和縱搖固有頻率之和（0.345 2 rad/s，周期為18.201 6 s），變化波浪幅值（1m、3 m、7m、11m）得到一系列垂蕩、縱搖時域響應曲線，以此來觀察垂蕩-縱搖組合共振現象的發生過程。

圖5是波幅為1m時的垂蕩、縱搖的響應情況，其中由左至右分別為垂蕩、縱搖的時間歷程曲線、譜密度曲線和相圖。此時垂蕩、縱搖響應頻率均為波浪頻率，時域響應幅值較小，情況穩定。

圖6為波幅為3m時的垂蕩、縱搖的響應情況，此時垂蕩、縱搖響應頻率中除波浪頻率外均出現了各模態的固有頻率，時域響應幅值出現了較大幅度的增加，響應變得不再穩定。

圖7、8分別為波幅7m和11m時的垂蕩、縱搖的響應情況，可以發現，垂蕩、縱搖時域響應幅值隨波浪幅值的增大均有增大，在波幅為11m時可以達到15m和0.2 rad。響應頻率為波浪頻率和各自固有頻率共存，響應不穩定。

圖5 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅1m時的垂蕩、縱搖響應Fig.5 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=1m

圖6 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅3m時的垂蕩、縱搖響應Fig.6 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=3m

圖7 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅7m時的垂蕩、縱搖響應Fig.7 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=7m

圖8 波浪頻率0.345 2 rad/s，波幅11m時的垂蕩、縱搖響應Fig.8 The heave and pitch response whenω=0.345 2 rad/s,h=11m

下面觀察波浪頻率不等于垂蕩縱搖固有頻率之和時的響應情況，圖9為波浪頻率0.330 0 rad/s（周期為19.040 0 s），波幅7m時的垂蕩、縱搖響應曲線，圖10為波浪頻率0.355 0 rad/s（周期為17.699 1 s），波幅7m時的垂蕩、縱搖響應曲線，兩種波浪情況下，雖然波浪幅值很大，但垂蕩、縱搖幅值均很小，頻率單一，響應穩定，與圖7形成鮮明對比。

圖9 波浪頻率0.330 0 rad/s，波幅7m時的垂蕩、縱搖響應Fig.9 The heave and pitch response whenω=0.330 0 rad/s,h=7m

圖10 波浪頻率0.355 0 rad/s，波幅7m時的垂蕩、縱搖響應Fig.10 The heave and pitch responsewhenω=0.355 0 rad/s,h=7m

由以上的分析可知：在不考慮系泊張力影響并且滿足組合共振條件時，波浪幅值達到一定程度，垂蕩、縱搖響應會發生局部分岔現象，在組合共振發生時，垂蕩、縱搖響應均變得不穩定，而且縱搖響應幅值較大；垂蕩固有頻率與2倍的縱搖固有頻率之間的偏差越大，激起縱搖分岔現象需要的波浪幅值越大，波浪頻率在一定范圍內的變化對a5曲線影響不大，但當波浪頻率與垂蕩縱搖固有頻率之和偏差超過一定范圍時組合共振現象消失，響應穩定。

[1]董艷秋.深海采油平臺波浪載荷及響應[M].天津:天津大學出版社,2005.

[2]Ran Zhihuang.Coupled dynamic analysis of floating structures in waves and currents[D].PhD Thesis.Texas:Texas A&M University,2000.

[3]曾曉輝,沈曉鵬,吳應湘.深海平臺分析和設計中的關鍵力學問題[J].船舶工程,2005,27(5):18-21.

[4]Ran Zhihuang.Coupled dynamic analysis of floating structures in waves and currents[D].PhD Thesis.Texas:Texas A&M University,2000.

[5]Rho JB,Choi H S,Shin H S.A study onmathieu-type instability of conventional Spar platform in regular waves[J].The International Journal of Offshore and Polar Engineering,2005,15(2):104-108.

[6]張帆,楊建民.Spar平臺的發展趨勢及其關鍵技術[J].中國海洋平臺,2005,20(2):6-11.

[7]Chakrabarti S K.Hydrodynamics of offshore structures:Mathematical theory and its applications in structures[M].New York:Springer-Verlag New York Inc.,1987.

[8]Ma QW,Patel M H.On the non-linear forces acting on a floating Spar platform in ocean waves[J].Applied Ocean Research,2001,23(1):29-40.

[9]Halkyard J,Horton E H.Spar platforms for deep water oil and gas fields[J].Marine Technology Society Journal,1996,30 (3):3-12.

[10]Cao Peimin,Zhang Jun.Slow motion responses of compliant offshore structures[J].International Journal of Offshore and Polar Engineering,1997,2:119-126.

[11]Rho JB,Choi H S.Heave and pitchmotions of a Spar platform with damping plate[C]//Proceeding of the 12th inter Offshore and Polar Engineering Conference.Kitakyushu,Japan.2002:26-31.

[12]Koo B J,Kim M H,Randall R E.Mathieu instability of a spar platform with mooring and risers[J].Ocean Engineering, 2004,31:2175-2208.

[13]張海燕.Spar平臺垂蕩—縱搖耦合非線性運動特性研究[D].天津:天津大學,2008.

[14]Haslum H A,Faltinsen OM.Alternative shape of Spar platforms for use in hostile areas[C]//Proceedings of Offshore Technology Conference.Houston,Texas:OTC,1999.

[15]Chen Xiaohong.Studies on dynamic interaction between deep-water floating structures and theirmooring/tendon systems [D].PhD Thesis.Texas:Texas A&M University,2002.

Study on stability of SPAR p latform in deep sea under combination resonance excitation

SANG Song1,2,3,LIChang-dong1,XU Xue-jun4,SHIXiao1
(1Ocean University of China,College of Engineering,Qingdao 266100,China;2 State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering,HohaiUniversity,Nanjing 210098,China; 3 State Key Laboratory ofHydraulicsand Mountain River Engineering,Sichuan University,Chengdu 610065,China;4Offshore Oil Engineering Co.,Ltd(Qingdao),Qingdao 266555,China)

Themovement stability problem of SPAR platform in deep sea under the environmental conditions has become a research hotspot.In the case of not consideringmooring tension effect and meeting the combination resonance conditions,this paper discusses the part of bifurcation phenomenon when wave amplitude reaches to a certain extent,using the way of theoretical analysis and numerical simulation.The results show that the heave and pitchmotion will get unstable and the pitch response amplitude will become largerwhen combination resonance occurs.The criticalwave amplitude of bifurcation phenomenon will become larger when the deviation between heave natural frequency and doubled pitch natural frequency augments. The wave frequency within a certain range of change has less effect on the a5curve.But the combinationresonance will not be induced if the deviation between wave frequency and heave natural frequency goes beyond a certain range.

SPAR platform;combination resonance;multiple scalemethod;stability

U661.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.10.005

1007-7294（2014）10-1195-09

2014-05-15

高等學校學科創新引智計劃資助（B14028）；國家自然科學基金（51079135）；青島市科技發展計劃項目（12-1-4-1-(18)-jch）；水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室開放基金（2012491011）；水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室開放基金（1210）

桑松（1974-），男，博士，教授，研究方向為深海浮式結構流固耦合非線性動力響應研究；

李長東（1987-），男，碩士。