三階中立時滯差分方程正解的存在性

王麗麗，王 星

(通化師范學院 數學學院,吉林 通化 134002)

1 引言

非線性差分方程模型在經濟學，生態學，計算機科學等方面都有著廣泛的應用.許多學者都對其振動性，非振動性，漸進性等性質有所研究.文獻[1]研究了一類三階線性中立差分方程Δ3(xn-pnxσn)±qnxτn=0，n≥n0解的振動性準則.文獻[2]利用Banach不動點定理得到了二階中立時滯差分方程Δ2(xn+pnxn-m)+pnxn-k-qnxn-1=0,n≥n0,非振動解的存在性結論.文獻[3]討論了二階非線性中立時滯差分方程Δ(rnΔ(xn-pnxn-m))+qng(xn-k)=fn,n≥0,正解存在的必要條件.本文將應用Krasnoselskii不動點定理及一些變分方法研究以下更一般的三階非線性中立時滯差分方程

Δ2(rnΔ(xn+pnxn-τ))=
f(n,xn-b1n,xn-b2n,…,xn-bkn),n≥n0

(*)

不可數多有界正解的存在性結論，所討論的方程更具有一般性.

2 預備知識

文中假設R，Z，N，N0分別表示全體實數，整數，正整數及非負整數集，Nn0={n:n∈N0,n≥n0},Zβ={n:n∈Z,n≥β},β=min{n0-τ,α},α=inf{n-bln:1≤l≤k,n∈Nn0}.Δi表示第i階向前差分算子，即：Δxn=xn+1-xn,Δi=Δ(Δi-1xn),其中i∈{2,3},n∈Z.方程(*)中我們約定τ,k∈N,n0∈N0,{rn}n∈Nn0和{pn}n∈Nn0表示實序列且rn≠0,{bln:n∈Nn0,l∈{1,2,…,k}}?Z且

引理1[4]有界的且一致柯西的子集是相對緊的.

引理2 (Krasnoselskii不動點定理)令X表示Banach空間，D表示X的有界閉凸子集，映射S及U映D到X且滿足Sx+Uy∈D,?x,y∈D.如果S是壓縮映射，U是全連續映射，則方程Sx+Ux=x在D中有解.

3 主要結果

本節我們將依據序列{pn}n∈Nβ的范圍討論方程(*)不可數多有界正解的存在性，結論如下：

定理1 常數A和B滿足A>B>0，非負序列{Wn}n∈Nn0滿足

|f(n,u1,u2,…,uk)|≤Wn,
?(n,u1,u2,…,uk)∈Nn0×[B,A]k

(1)

及

(2)

|pn|≤c,?n≥n1

(3)

則方程(*)在Ω中有不可數多有界正解.

(4)

(5)

(6)

首先證明ULx+SLy∈Ω由式子(1)和(3)-(6)知

即B≤(ULx)n+(SLy)n≤A,?n≥T,從而得證.

其次，根據式子(3)映射UL為壓縮映射顯然.

(7)

(8)

(9)

從而SL為連續映射.式子(1)，(4)和(6)可推出

即SL(Ω)為閉集.下面斷定SL(Ω)是一致柯西的.

因為對于?x∈Ω,m>n≥T1,式子(8)推出

成立.從而由引理1知SL(Ω)是相對緊的.因此SL(Ω)是全連續的.

引理2保證了方程ULx+SLx=x在Ω中有解x={xn}n∈Zβ.通過向前差分算子的簡單計算知x即為方程(*)在Ω中的有界正解.

顯然，存在zj={zjn}n∈Zβ∈Ω適合方程ULjzj+SLjzj=zj，從而是方程(*)的解. 聯立式子(1)，(3)及上式，得?n≥T3

從而得

即z1=z2.證畢.

參考文獻：

[1]A.Andruch-Sobilo, On the oscillation of solutions of third order linear difference equations of neutral type [J].Math.Bohemica 130(2005):19-33.

[2]C.Jinfa, Existence of a non-oscillatory solution of a second-order linear neutral difference equation [J].Appl.Math.Lett.20(2007):892-899.

[3]R.N.Rath,J.G.Dix,L.S.Barik,B.Dihudi, Necessary conditions for the solutions of second order non-linear neutral delay difference equations to be oscillatory or tend to zero [J], Int.J.Math.&Math.Sci.(2007).

[4]S.S.Cheng,W.T.Patula, An existence theorem for a nonlinear difference equation[J].Nonliear Anal.20(1993):193-203.

[5]S.H.Szker, Oscillation of third-order difference equations [J].Port.Math.61(2004):249-257.