初中學生數學反思能力的培養

蔣國芳

【摘 要】中學生數學反思能力是中學生在數學思維活動中對自己數學認知過程的自我意識、自我評價、自我探究、自我監控、自我調節的能力。數學課堂上教師主導教學和學生自身的非智力因素阻礙了學生反思能力的發展。筆者通過數學教學和數學解題兩條途徑來提升學生的數學反思能力。從而激發學生的創造潛能，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題，使數學學習成為再發現、再創造的過程。提高中學生數學反思能力有助于學生在反思中成長，在反思中真正的學會學習。

【關鍵詞】初中學生數學；反思能力；培養；教學；解題

一、影響初中學生數學反思能力發展的因素分析

1.來自客體的原因：教師主導教學阻礙了學生反思能力的發展

目前課堂教學中，教師們存在的一些問題直接影響課堂效率。

（1）滿堂灌阻礙學生對知識的獲取。老師上課講的多，滿堂灌，只怕學生沒有掌握，不敢放手讓學生參與課堂教學。問題的解法選擇最簡單的方法傳授，很少從幾種不同的方法中去選擇、比較、反思。教師滿堂灌，學生被動學，壓抑學生的學習的天性，剝奪學生學習的主動性。

（2）教師套路式解題教學影響了學生的思維發展。經驗豐富的老師，能夠把一些典型的題目歸納提煉出統一模式的解法，讓學生記住這些套路，要求學生碰到類似的題目用這一套路去解決。對知識的理解力求一步到位，很少暴露自己對問題的思考過程，更少暴露通過反思錯誤想法從中調整思路，最終解決這個問題的思維過程。

2.主體固有的原因：非智力因素阻礙反思思維的發展

畏難情緒是學生對學習活動中存在的困難不敢正確地面對，甚至逃避困難，在較難的問題面前束手無策。有些學生在做作業時碰上難一點的題目，一看題目有點復雜，讀不懂題意，想了幾分鐘想不出來，他們放棄獨立思考，轉向求助老師和同學，自己不愿深入思考問題，依賴性很強。

（1）從教學實踐意義上講：“教會學生學習”已成為當今世界教育改革的重要口號，教學的實質就是教師引導學生學習。教師要讓學生理解學習過程，讓學生不僅明確學習什么，而且明白應該怎樣去學習。那么，教學中應如何促進學生積極參與學習過程，認真學習數學呢？引導學生正確反思就是一種很好的方法。

（2）《普通高中數學新課程標準（實驗）》則把“反思”這一教學理念提到了應有的高度：“人們在學習數學和運用數學解決問題，不斷地經歷直觀感知，反思與建構等思維過程。這些過程是數學思維能力的具體體現，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷”。同時提出，評價應關注學生“能否不斷反思數學學習過程，并改進學習方法”。

總之，從影響數學反思能力形成的因素分析來看，學生反思能力缺失主要是缺乏反思的動力，反思的方法和反思的時間造成的。另外，缺乏毅力和對反思的誤解也是不可忽視的因素。

二、初中學生數學學習反思能力啟迪

中學生數學反思能力就是中學生在數學思維活動中對自己數學認知過程的自我意識、自我評價、自我探究、自我監控、自我調節的能力。

所謂反思，就是從一個新的角度，多層次、多角度地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析和思考。反思是一個內在否定的認識過程，反思是一種辯證的思維方式，反思是一種具有創新意義的理想境界，反思是過渡并到達真理的橋梁。只有學會反思，一個人才能不斷矯正錯誤，不斷探索和走向新的境界。

盡管初中生開始能夠有意識地調節、支配、檢查和分析自己的思維過程，在學習上和生活上有更大的獨立性和自覺性，但批判性還是不夠的，容易產生片面性和表面性；初中學生在運算過程中雖能自覺地檢查和發現錯誤并進行糾正，但是不善于尋找錯誤的原因，也不能及時地調整解題步驟和方法。

三、如何培養中學生數學反思能力

（一）數學教學中反思能力的培養

在數學教學中注重學生反思能力的培養，有利于學生提高主體意識，自主地進行學習，有效地進行自我教育，在人生的成長過程中不斷提高各方面素質，不斷完善自己。所以我以培養學生數學反思能力為中心，讓其具有獨立思考的能力，勇于創新的精神。

1.創設情境，在“思維失衡”中觸發反思能力

反思能力的引導，有賴于教師根據學生的具體情況，有針對性地設計反思問題，以引起學生的進一步思考。下面是筆者一次試卷講評課中的一個教學片段：

如圖，拋物線y=ax2+bx（a>0）與雙曲線y= k-x 相交于點A，B. 已知點B的坐標為（-2，-2），點A在第一象限內，且tan∠AOx=4. 過點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C.

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）計算△ABC的面積；

（3）在拋物線上是否存在點D，使△ABD的面積等于△ABC的面積.若存在，請你寫出點D的坐標；若不存在，請你說明理由。

在講評第（3）小題的時候，讓學生思考，面積相等的兩個三角形，△ABC和△ABD有什么特點？（有一條公共的底邊AB），那點D在哪里該怎么找呢？（過點C作AB的平行線CD交拋物線于點D）。所以只要求出直線AB的解析式，再求出直線CD的解析式，然后與拋物線的解析式構成方程組求解就可以了。突然包某同學舉手，說：“老師，我還有不同的解法。設點D的坐標為（x，x2+3x），連AD，BD，過點D作鉛垂高DE交AB于點E，則E的坐標為（x，2x+2），所以S△ABD=S△BDE+S△ADE= 1-2×3×（x2+x-12）=15，解出方程即可。這時潘某同學舉手，說：”老師，為什么點D一定是在AB的左側呢？不可以在AB的右側嗎？”“誰能來解釋一下？”我又把這個問題拋給了學生。“因為拋物線的頂點到直線AB的距離比點C到直線AB的距離短，所以在AB的右側不存在。”有好幾個同學脫口而出。“那下次如果碰到拋物線的頂點到直線AB的距離比點C到直線AB的距離長的時候，直線AB右側的點D的坐標又該怎么求呢？”潘某同學繼續追問。我說：“這個問題問得太好了，請大家獨立思考一下。”大概過了兩分鐘左右，有幾個同學舉手了，我沒有馬上讓他們回答，而是留點時間和空間給那些還在冥思苦想的同學。又過了3分鐘，舉手的同學越來越多了，我叫了劉某同學，他說：“不管點D是在AB的左側還是右側，過點D作AB的平行線與y軸的交點M1或M2到AB與y軸的交點N的距離是相等的，所以就可以得到M2的坐標，再求出直線BD2的解析式，與拋物線的解析式構成方程組就可以了。

【分析】“留下最有營養的部分讓孩子們自己吃吧！”這其實也是培養反思能力的一種手段。初中生受經驗思維的影響，思維容易雷同，缺乏探索精神。因而要多鼓勵學生敢于發表不同的見解。提高思維的檔次，這樣一來，問題變難了，可是真正投入學習的人數卻大量增加。好的不喊，認真思索；差的睜大眼睛，想個究竟。時間延緩，思維被提升。

有一位學者提出：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則就是讓學生自己提問題”。從這節課上我欣喜地看到：善于培養學生的思維，不僅可以活躍課堂的氣氛，而且使學生更加喜歡思考問題，發表自己的見解，學生會一次次地超越自我，創造奇跡。所以，我們現在的教學更重要的是如何去引導學生來提問，并重視學生的提問。學生能主動提問，不僅能激發學生的求知欲和發展學生獨特的個性思維，而且在教與學方面具有一些不可替代的作用。引導學生在數學探究中提出問題，進行自主探究，對于培養學生的數學素養有更重要的意義。

2.一題多解，在“同中求異”中培養反思能力

培養反思能力可以通過變式訓練，強化靈活思維來達到。

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M為邊BC上的點，連結AM.如果將△ABM沿直線AM翻折后，點B恰好落在邊AC的中點處，求點M到AC的距離。

這是一次試卷講評課上的一個片段，我讓甲同學上來講評上面這道題目的解題方法，他說：“過點M作MN⊥AC于點N，由折疊可知∠BAM=∠BAM，由AB∥MN可得∠BAM=∠AMN，所以∠BAM=∠AMN，設AN=x，則MN=x，因為AC=2AB=2AB=6，所以CN=6-x，由△CMN∽△CAB可得x-3 =6-6x，計算出x即可。”這時乙同學說可以用三角函數來解。由折疊可知∠ABM=∠B，所以tan∠ABM=tanB，即M-NN-B' = A-AC-B，∴3-xx= 6-3 。丙同學說還可以用面積法來解。因為B是AC的中點，所以S△AB'M= 1-3 S△ABC，即 1-2×3x= 1-3×1-2×3×6。臺下響起了熱烈的掌聲，大家都說這個方法好。一題多解的討論把課堂又一次地推向了高潮，學生的思維更活躍了，表現欲也更強了。這讓我真正體會了“交換一個蘋果，各得一個蘋果；交換一種思想，各得兩種思想”的內涵。

【分析】

①好處：一題多解充分調動了學生思維的積極性，提高了他們綜合運用已學知識解答數學問題的技能技巧；鍛煉了學生思維的靈活性，促進他們長知識、長智慧；開闊了思路，發揮了學生的創造性。

②符合新課標的要求。新課標提出：人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。我覺得一題多解正是在這種理念支配下的思維活動，面對相同的數學問題，學生對生活的感悟程度、認知水平、思考問題的角度不同，就會生成各種各樣的“原生態問題”（即在現有數學水平的基礎上，對數學問題的認識程度，感悟到可能用到的知識、方法、思想、技巧等）。

③反思：一題多解是為了培養和鍛煉學生的思維，發展學生的智力，提高學生的解題能力。但如果對學生通過多向思維求得的一些較為復雜的解法不提倡，不鼓勵，甚至還批評，責備學生，這樣就會挫傷學生思維的積極性，影響學生的學習興趣，不利于培養學生的創造能力。實踐證明，學生的解法越多，表明學生的思維越靈活，思路越開闊。學生能夠根據題意和數量關系，運用所學習和掌握的知識不拘泥，不守舊，樂于打破一般的框框去進行廣闊的思維，十分用心地去探求各種解題方法，就越有利于促進其思維的發展，提高創造能力。我們就越應當給予肯定和鼓勵。對于學生“別出心裁”，“獨辟蹊徑”的解題方法，我們給以表揚和鼓勵。

3. 多題一解，在“異中求同”中加強反思能力

換一個角度，不同的題目，方法相同，也是反思能力加強的手段。

這是我在上《三等角型相似三角形》這個內容時的一個教學片段。我先出示了下面這道探究題：如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8 cm，點P為BC邊上一動點（不與點B、C重合），過點P作射線PM交AC于點M，使∠APM=∠B. 設BP=x，CM=y.求 y與x的函數解析式，并寫出x的取值范圍。

①啟發式：這一問學生很順利的就完成了，我對題目進行了變式：若點P為射線CB上一動點（不與點C、B重合），且保持∠APM=∠ABC.，求y與x的函數解析式，并寫出x的取值范圍.

②激勵式：解完后我對學生說：“這道題目還可以怎么變？老師實在是想不出來了。你們有沒有好的變式？”這時同學們躍躍欲試，有的說可以把條件變一下，有的說可以把等腰三角形換成是其它圖形。

③自主合作式：我說：“同學們說得都很好，老師要求你們在課后把這道題目改編好，可以自己獨立完成，也可以小組合作完成，我們下節課再來探究。”在作業中，我發現了幾道很精彩的改編題，如下：

變式一：正方形ABCD的邊長為6，點P、Q分別在直線CB、DC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ=90°. 當CQ=1時，寫出線段BP的長.

變式二：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD

（1）如圖，P為AD上的一點，滿足∠BPC=∠A.

①求證；△ABP∽△DPC

②求AP的長.

（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足∠BPE=∠A，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q. 當點Q在線段DC的延長線上時，設AP=x，CQ=y， 求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；

【分析】一題多變如能對基礎題加以研究，觸類旁通，將收到事半功倍的效果。一題多變是開發智力、培養能力的一種行之有效的方法，進行思維分析，探討解題規律和對習題的多角度“追蹤”，能“以少勝多”地鞏固基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力。掌握基本的解題方法和技巧，這對溝通不同知識之間的聯系，開拓思路，培養發散思維能力，激發學生的學習興趣都是十分有益的。

【反思】我在課堂上雖然用了啟發式、激勵式、自主式、合作式等教學方法引導、培養學生的發散思維能力、挖掘創新潛能、形成探究意識等。但也發現了一些問題：表面上課堂氣氛熱烈，學生思維活潑，但在課堂“繁榮”的背后，卻是少數思維活潑的學生統治課堂的氛圍，更多一部分的學生一直處于一種被動接受的狀態，即使偶爾能引出思維的共鳴，卻也很難激發他們的學習熱情，更說不上去主動建構起自己的知識結構和培養能力了。

【改進措施】

（1）教師要在選例上多下功夫，即要精心設計例題。一堂例題教學課成功與否的關鍵在于學生的參與的程度，而學生的參與程度與例題的選取有密切的關系。切不可為追求“高質量”的“好題”而選題過難，不切合學生的實際水平；也不可為追求學生的課堂的“繁榮活躍”景象而選題過易，不能激發起學生解題的欲望。因此，教師在選題時不僅要以學習的要點為目標，還要兼顧學生的實際情況，只有這樣才能提高學生學習的興趣。有的時候，不妨放權，讓學生也參與到選題中。

（2）在教學過程中，教師應當成為參與者、促進者、調控者。當學生思維有障礙時，給予啟示性的提示；當學生回答走題時，給予點撥，必要時提出促使解題深入的發展性意見。同時也可適當地組織課堂討論，圍繞解題過程中出現的問題，設計若干個子問題，讓學生發表見解、互相討論，導引到正確的思路上。

4.質疑提問，在“創造思維”中提升反思能力

亞里斯多德說：“人的思維是從質疑開始的”。質疑問難是探求知識，發現問題的開始，愛因斯坦也說：“提出一個問題比解決一個問題更重要”。因此從學生的好奇好問，求知欲強等特點出發，積極培養學生勤于思考問題、敢于提出問題、善于解決問題的好習慣是培養學生創造性思維的前提。學生解題常默守成規，帶來繁瑣運算而中途夭折，教學中鼓勵學生大膽質疑、大膽想象，尋找新的解題方法，往往會出現“柳暗花明”的現象。

剛開始學生都會是接受式的學習，老師講什么，就接受什么，很少提出自己的想法或者是質疑。為了激發他們提出問題，我采用了獎勵措施：“每周能提出1個問題的可以得到一顆五角星，達到十顆五角星的可以換獎品。”這樣，學生提問題的積極性大大增加。一個月后，我又提出了更高的要求：“每周能提出3-5個問題的同學才可以得到一顆五角星。”學生對提出問題已經養成了習慣，我就把提得有深度的問題放在課堂上大家一起探究，這樣學生提問的熱情更加高漲。而我對學生提問的要求也由“量的增加”轉向“質的提升”。

當學生給老師提問成為習慣之后，我又慢慢地引導學生由“給老師提問”轉向“給自己提問”，每次做完題后能進行反思，再探究。

例如：王某同學在解完“梯形ABCD中，點E是腰AB上一點，在腰CD上求作一點F，使CF：FD = BE：EA”之后在作業的反思欄內寫道：“老師，如果E點在底邊上，如何在另一底上找到F，我有一種方法，不知對否？

作法：1. 連結AC；

2. 作EO // DC交AC于O；

3. 作OF // AB交BC于F。

AE∶ED = BF∶FC。

同時，另一位學生在作業本中提出同樣的問題，寫道：“如果，在梯形ABCD中，點E是底邊上一點，那么在另一底邊找一點F，使AE∶ED = BF∶FC，應怎樣找？”

【分析】兩位學生對同一個題目，提出了相同的問題，前者解決了問題，但不能用準確的數學語言表述問題，后者雖沒有找到解決問題的方法，但能準確的描述問題，兩位學生都良好的運用了直覺思維，這本身就是一種創新能力，我及時公布了兩位的猜想，并鼓勵他們的這種主動猜想的創新精神，公布之后，同學們反映強烈，并進行了廣泛的討論，并且在討論中思維更加深刻，問題得到引伸，方法也出現了多種。

教師只有鼓勵學生質疑，學生才能變被動接受變為主動探索，學生才能提出新設想、新路子，激活他們的創造性思維。

（二）數學解題中反思能力的培養

1.對題意理解的反思

學生解題追求的第一層次應該是對不對，這是科學性的問題。但學生在平時的解題中經常審題不仔細，看錯題目或考慮不全或浮躁產生計算的錯誤等。例如：若方程（m-1）/（x-1）=x（x-1）的解為正數，則m的取值范圍是 。學生在解題時容易只考慮了解是正數，而忽略了分母x-1≠0。

【措施】

（1）提高學生的認識，形成認真讀題的意識 。讓學生認識審題的重要性，可通過設計專項審題訓練、對比實驗，潛移默化，有機滲透，讓學生自覺體驗到題目中每句話都隱藏著重要的數學信息，體驗到審題的重要性，并經常教育學生養成審題的好意識，認真審題。

（2）學會“一讀、二敲、三述、四擬”的審題方法。“一讀”指認真讀題，準確提取數學信息；“二敲”就是對數學術語及揭示數量關系的關鍵詞句仔細推敲，注意關鍵字詞，正確理解題意；“三述”就是把題目骨架關鍵詞用自己的語言復述，化繁為簡、化難為易，促進學生進一步理解題；“四擬”就是用列表、畫圖、綜合、分析等方法模擬解決問題的情景，清楚表達題意，展示數量關系，形成解題思路。

（3）養成檢驗的習慣，提高解題準確性。檢驗計算結果是否正確，檢查結果與實際情況是否吻合。在數學教學中必須注意培養學生自覺檢驗計算結果是否正確的習慣，以提高解題的準確性。

2.對解題過程的反思

學生的解題過程實質上是一個心智活動過程。學生除了自身知識所限外，還不同程度地受一定的心理因素制約。如心理定勢的反作用使解題時學生經常機械地照搬過去的經驗去解決類似的問題，缺乏思維的靈活性、機敏性、創造性從而導致解題迷茫或失誤。

例如：關于x的方程rx2-（2r+7）x+r+7=0有正整數解，求r的整數解。

學生在解這道題目的時候容易產生思維定勢，只考慮了該方程是一元二次方程，得到r=1或7，而忽略了當r=0時，該方程是一元一次方程，也有正整數解x=1.

3.對解題結果的反思

著名數學教育家波利亞說：“聰明的人從結果開始”。通過對結果的反思，能發現和糾正運算中的失誤之處，或對解題合理性進行檢驗，找到癥結所在，然后做出適當的補充和調整。

例如：如圖某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18m），另三邊用木欄圍成，木欄長35m。問：雞場的面積能達到150m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由。

解：設與墻垂直的一邊為x米，則x（35-2x）=150，

解之得x1=10，x2= 15-2

有些同學做到這里就會以為做完了，但是他們沒有注意到當x= 15-2時，35-2x=20>18，不符合題意，因此要求學生在做完題之后應反思結果的正確性與合理性。

四、初中學生數學反思能力培養的一點成效

通過對學生反思能力培養的探究，筆者深刻感覺到：在教學中應該把思維的過程還給學生，讓學生用個性化的語言展示其獨具魅力的思維過程，讓其體驗現實，感悟真諦，引導學生有所思、有所感、有所悟。這樣，每一個學生在個性化的數學學習活動中，就一定會揚起思維的風帆，插上思維的翅膀，登上能力的快車。

經過一年時間的反思能力訓練，我發現學生因審題不仔細丟分的現象逐漸減少，正確率大大提高。課堂上學習討論的氛圍更濃了，同學們在闡述自己觀點的同時也經常會反思其他同學解法的正確性和嚴密性。學生敢于提問題，發表自己的想法，經常出現一道題目多種解法。學生一個個都變得樂思、巧思、善思，真正地成為了課堂的主人。他們在解題中收獲的不僅僅是數學題，還收獲了堅持和毅力！

在教學中，教師如能注重數學反思能力的培養，這將有利于提高學生分析問題和解決問題的能力。因此，在平時的教學活動中，教師應注意使學生在掌握知識的同時，養成多角度思考問題的習慣，培養學生的探索思維、發散思維、求異思維，從而激發學生的創造潛能，“我思故我在。”反思能力的養成激發了學生不斷再學習的強烈動機，反思過程拓展了學生的視野，提升了學生學習的能力。相信我們的學生會在反思中成長，在反思中真正的學會學習。

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