基于IOWA算子的安徽省城鎮居民人均消費支出的組合預測

胡海翔，楊桂元

（安徽財經大學統計與數學應用學院，安徽蚌埠 233030）

一、引言

改革開放以來，我國經濟一直處于上升階段，同時消費、投資和出口是拉動經濟增長的三駕馬車。我國一直以消費刺激經濟增長為主，如何刺激居民消費，擴大國內消費，從而拉動經濟，是政府關注的大事。同時在居民消費中主要以城鎮居民消費為主，所以對城鎮居民人均消費支出的預測，從而為政府制定相關的政策或者分析城鎮消費市場具有重要意義。

目前國內外有很多預測方法包括回歸分析法、時間序列分析法等等，但是我們發現很多單一的預測方法存在著很多的缺陷和不足，所以我們考慮采用組合預測的方法進行預測。組合預測是1969年由Bates和Granger提出的，是將各項單項預測看作代表或包含不同信息的片段，通過信息的集成分散單項預測的不確定性和減少總體不確定性，從而提高預測精度[1]。陳華友和劉春林通過引進誘導有序加權算術平均（IOWA）算子，提出了以誤差平方和為準則新的組合預測模型，給出了IOWA權系數的確定的數學規劃方法[2]。陳華友、陳啟明和李洪巖以最大絕對誤差最小化的組合預測模型為例引進有序加權平均（OWA）算子，給出了其線性規劃的求解方法[3]。肖祎平、劉新衛和張威運用ARIMA模型、GM（1，1）模型和RBF神經網絡模型以及非負權重最優組合預測模型對中國銀行的收盤價進行分析和預測，取得了很好的效果[4]。李偉和董梅生根據1995—2007年安徽省農民收入和消費的數據采用偏最小二乘回歸方法得出農民收入對消費水平的影響很大，得出了農民收入和消費存在著較高的相關關系[5]。

二、模型的選擇

當前已知的組合預測方法都是按照每項單項預測方法預測的不同精度來賦予大小不同的加權平均系數，同時傳統組合預測方法認為同一項單項預測方法在樣本區間上各個時點的加權平均系數是不變的。然而在樣本區間的不同時點上對于同一個單項預測方法的準確度是不相同的，即同一單項預測方法在這個時點上對樣本的預測精度較高，然而在另一時點上這一單項預測方法可能預測的精度比較差。所以現在已知的傳統組合預測方法預測現實問題會出現預測精度下降的問題。陳華友引進誘導有序加權算術平均算子（IOWA），即在組合預測中可以根據樣本區間不同時點上每項單項預測方法的預測精度的高低來賦予不同的權重，從而提高了整個組合預測的精度，同時以誤差平方和最小為判定準則進入組合預測方法中。

（一）傳統的以誤差平方和為準則的組合預測

則稱xt為對實際觀察值xt加權算術平均的組合預測值。

設et為第t時刻的組合預測值與相應的實際值之間的誤差，則

其中eit=xt－xit為第i種預測方法第t時刻預測值與相應的實際值之間的誤差，i=1，2，…，m，t=1，2，…，N，所以N期總的組合預測誤差平方和為

因此以誤差平方和為準則的加權算術平均組合預測模型如下：

由模型（1）的最優解即為加權算術平均組合預測模型的權重。

（二）三個概念

定義2 設＜v1，a1＞，＜v2，a2＞，…，＜vm，am＞為m個二維數組，令

則bit表示的是第i種預測方法在第t時刻的預測精度，且bit∈[0，1]。

（三）模型的建立

在此我們把定義3中的預測精度vit看成預測值xit的誘導值，這樣m種單項預測方法在第t時刻的預測精度和其對應的在樣本區間的預測值構成了m個二維數組＜v1t，x1t＞，＜v2t，x2t＞，…，＜ vmt，xmt＞。

令L=（l1，l2，…，lm）T為加權向量，根據定義2中的式子，可以得到

其中v－index（it）是第i個大的預測精度的下標。我們稱（3）式是將m種單項預測方法在第t時刻的預測精度序列v1t，v2t，…，vm t按從大到小順序排列所形成的組合預測值。

于是N期總的組合預測誤差平方和S

其中令ev－index（it）=xt－ xv－index（it），故以誤差平方和最小為準則的基于IOWA算子組合預測模型如下：

三、實證分析

本文選取的是1992－2012年的安徽省城鎮居民人均消費支出進行預測分析，共21個樣本。并且用多元線性回歸與時間序列的組合模型預測、ARIMA模型預測、GM（1，1）模型預測三種單項預測方法進行分析。數據來源于安徽省統計年鑒。

（一）多元線性回歸與時間序列的組合模型預測

1.模型原理

多元回歸預測是分析應變量和自變量是否存在著一定的長期關系，即自變量和因變量之間是否存在著線性相關關系，以及各自變量之間對因變量的影響程度如何。

設Y是因變量，X1、X2、…、Xn是自變量，則模型可寫成

Y=α+β1X1+β2X2+…+βn Xn+ε

其中i=1，2，…，n，ε 為隨機誤差項，且 ε～ N（0，σ2）

2.模型檢驗和預測

首先此模型選取的數據樣本是1992－2012年的安徽省城鎮居民人均消費支出（Y）、城鎮居民家庭人均收入（X1）、居民消費價格指數（X2）和城鎮居民家庭恩格爾系數（X3）。Y、X1、X2和X3的值如表1所示。

表1 選取的數據樣本的值

首先對樣本Y、X1、X2和X3進行最小二乘估計，再剔除不顯著變量得回歸方程，但是觀看DW值為1.55表示存在序列相關，為此我們引入AR（1）和MA（1），得到的方程如下：

可以看出回歸方程擬合的比較好，可以用該方程進行預測，預測結果見表2。

（二）ARIMA模型預測

1.模型原理

自回歸求積移動平均模型也就是ARIMA模型，是將非平穩時間序列轉換為平穩時間序列，然后將因變量對它的滯后值及隨機誤差進行回歸所建立的模型。

設Yt是被解釋變量，ut是隨機擾動項，如果Yt被它的p個滯后變量和ut的q個滯后變量所解釋，模型可寫成

上式稱為p階自回歸與q階移動平均模型，記為ARMA（p，q）。如果非平穩時間序列經過d次差分后才變成平穩的，那么該時間序列模型變為自回歸求積移動平均模型，記為 ARIMA（p，d，q）。

2.模型的識別、檢驗和預測

首先對21個數據進行ADF檢驗，確定d值。直接對Y進行ADF檢驗為平穩時間序列，在顯著性水平為5%的時候為平穩序列。因此d的值為0。

其次我們利用自相關函數ACF和偏自相關函數PACF確定p、q的值。用Eviews軟件處理得到自相關函數ACF和偏自相關函數PACF圖像見表3.經過反復試驗將p，q的值定為2和1能夠取得很好的擬合效果（擬合優度R方為0.982314.AIC和SC信息值分別為15.60152和15.8）且利用residual tests中correlogram－Q－statistics檢驗發現殘差序列不相關，屬于白噪聲序列。因此可以用ARIMA（2，0，1）模型進行預測，預測值見表2。

（三）GM（1，1）模型預測

1.模型原理

其解的離散形式為

模型中的參數可用最小二乘確定

式中

確定參數a和u后按此模型遞推，可以得到預測的累加數列，再累減可得到預測值。然后對序列進行殘差合格性檢驗、關聯度合格性檢驗及小誤差概率合格性檢驗，結合精度檢驗等級參照表判定所建立模型的優劣，通過檢驗即可進行預測。

2.建立模型與預測

首先對原始數列進行級比檢驗。根據公式σ（k）=x（k－1）/x（k）對原始序列計算，得到級比序列σ=（0.823778，0.723701，…，0.878082），令n=5，再根據公式σ（k）∈（，）得到可容覆蓋為（0.67032，1.491825），由于都落在可容覆蓋中，可以建立灰色預測模型GM（1，1）.

其次建立GM（1，1）模型。由Matalab軟件可得預測模型為

其中a=－0.1023，b=1732.5284。根據公式（5）進行擬合，擬合的平均相對誤差為0.2043%，擬合精度較高。因此預測結果見表2。

表2 各單項預測和組合預測的結果

（四）組合預測

根據以上各時點上的各單項預測法的預測精度為誘導值，并且預測精度按從大到小排列，對各時點的各種單項預測法的預測值進行有序加權平均，并且以誤差平方和最小為準則，用Lingo軟件求解，得最優權系數向量L=（0.8026，0.1648，0.0326），即對于單項預測法預測精度最高的賦與0.8026，對于次高的賦予0.1648，最低的賦予0.0326。從表2中可以看出組合預測的方法的預測精度都是最高的，顯著提高了預測精度。整體上比每一單項預測方法的預測精度高。根據得到的權重向量，因此組合預測的預測模型為

fL=0.8026xb－index（1t）+0.1648xb－index（2t）+0.00326xb－index（3t）

我們根據以上計算出來的權重計算每項單項預測方法的各時期平均權重作為未來時期的各個單項預測方法的權重，然后計算組合預測值作為未來的預測值。預測值見表3。

表3 2013－2015年的組合預測結果

從表3中可以看出，2012年以后各年的城鎮消費支出確實在逐年增大，拉動經濟的增長。這與政府刺激內需，擴大我國居民消費支出，拉動外需，從而帶動經濟穩定快速的增長政策目標一致。在全省經濟增速放緩的情況下，我們應該擴大居民消費支出，特別是城鎮居民消費，從而拉動內需，帶動經濟穩定快速的增長。

四、總結

影響城鎮居民人均消費支出的變化的因素眾多，單一的預測方法雖不能全面的描述這一變化的具體趨勢，但這些預測方法能從不同的角度來預測人均消費支出額;而組合預測是將不同的預測方法進行適當的組合，通過綜合利用各種預測方法所提供的信息，盡可能提高預測精度。本文通過用1992－2012年的安徽省城鎮居民人均消費支出進行預測分析來說明基于IOWA組合預測方法的預測精度，而實踐證明，基于IOWA組合預測確實能取得優于各個單項預測的效果，提高了預測的精度。

安徽省城鎮居民人均消費支出的實證結果可以推廣到全國范圍內，可以運用基于IOWA組合預測方法對全國城鎮居民未來幾年的人均消費支出做出預測。預測的結果可以為政府在接下來幾年里實施刺激國內消費的措施與方針提供依據和數據支持。

[1]Bates J M，Granger C WJ.Combination of forecasts[J].Operations Research Quarterly，1969，20（4）：451 －468.

[2]陳華友，劉春林.基于IOWA算子的組合預測方法[J].預測，2003，22（6）：61－65.

[3]陳華友，陳啟明，李洪巖.一類基于OWA算子的組合預測模型及其性質[J].運籌與管理，2006，（12）：34－40.

[4]肖祎平，劉新衛，張威.基于非負權重最優組合預測的股價預測研究[J].統計與決策，2013，（18）：142－145.

[5]李偉，董梅生.安徽省農民消費水平和收入水平的關系——基于偏最小二乘法的分析[J].商場現代化，2009，（22）：66－68.

[6]安徽統計年鑒——2013[Z].北京：中國統計出版社，2013.