數列求和的幾種方法和技巧

童西香

【摘要】數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎。在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。對學生來說這部分是一個難點，但只要找準規律這類問題也就會迎刃而解，下面，就根據幾個例題來談談數列求和的幾種方法和技巧。

【關鍵詞】數列前n項求和方法技巧

【中圖分類號】G633.62 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）07-0152-02 一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。

1.等差數列求和公式：Sn=■=na1+■d

2.等比數列求和公式：Sn=na1 (q=1)■=■(q≠1)

3.Sn=■k=■n(n+1)

4.Sn=■k2=■n(n+1)(2n+1)

5.Sn=■k3=[■n(n+1)]2

二、反序相加法求和

這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an).將Sn=a1+a2+…+an與Sn=an+an-1+…+a1兩式相加,如果得到一個常數列,其和為A,那么Sn=■.

例1：已知f(x)滿足x1,x2∈R,當x1+x2=1時,f(x1)+f(x2)=■,若求Sn=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),n∈N,求Sn

由f(x1)+f(x2)=■知只要自變量x1+x2=1即成立,又知0+1=1·■+■=1,…,則易求Sn.

解：因為Sn=f(0)+f■+f■+…+f■+f(1),①

所以Sn=f(1)+f■+…+f■+f(0).②

①+②,得

2Sn=[f(0)+f(1)]+f■+f■+…+[f(1)+f(0)]

=■

=■(n+1).

所以Sn=■(n+1).

例2：求證：C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■=(n+1)2■

證明： 設Sn=C■■+3C■■+5C■■+…+(2n+1)C■■①

把①式右邊倒轉過來得

Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■ （反序）

又由C■■=C■■可得

Sn=(2n+1)C■■+(2n-1)C■■+…+3C■■+C■■②

①+②得2Sn=(2n+2)(C■■+C■■+…+C■■+C■■)=2(n+1)·2n（反序相加）

∴Sn=(n+1)·2n

三、錯位相減法求和

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}、{bn}分別是等差數列和等比數列。

例3：如已知數列{an}：an=(2n-1)·3n，求數列{an}前n項和Sn

解：Sn=1×31+3×32+5×33+…+[2(n-1)-1]·3n-1+(2n-1)·3n①

在上式兩邊同乘以等比數列{3n}的公比3，得

3Sn=1×32+3×33-5×34+…+[2(n-1)-1]·3n+(2n-1)·3n+1②

由①～②（兩等式的右邊錯位相減）

2Sn=1×31+(3×32-1×32)+(5+33-3×33)+…+{(2n-1)3n-[2(n-1)-1]3n}-(2n-1)3n+1

=1×31+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)3n+1

=1×31+2(32+33+…+3n)-(2n-1)3n+1

=3+(3n+1-9)-(2n-1)·3n+1

=(2-2n)3n+1-6

∴Sn=(n-1)·3n+1+3

點評：在①式兩邊也可以同時除以等比數列的公比3，得到式子與①式錯位相減也可求出Sn.

四、裂項法求和

這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。

常見的裂項方法有：

1．■=■(■-■)

2．■=■(■-■)

3．■=■[■-■]

4．■=■(■-■)

例4：求數列■,■，…，■的前n項和

解：設an= ■=■-■(裂項）

則Sn=■+■+…+■（裂項求和）

＝(■-■)+(■-■)+…+(■-■)

＝■-1

五、分組法求和

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可。

例5：求數列的前n項和：1+1，■+4，■+7，…，■+3n-2，…

解：設Sn=(1+1)+(■+4)+(■+7)+…(■+3n-2)

將其每一項拆開再重新組合得

Sn=(1+■+■+…+■)+(1+4+7+…+3n-2)（分組）

當a＝1時， Sn＝n+■=■（分組求和）

當a≠1時，Sn＝■+■=■+■

點評：分組求和即將不能直接求和的數列分解成若干個可以求和的數列,分別求和。

六、合并法求和

針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.

例6：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+cos178°+cos179°的值

解：設Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+cos178°+cos179°

∵cosn°=-cos(180°-n°)（找特殊性質項）

∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°（合并求和）

＝ 0

七、利用數列的通項求和

先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是一個重要的方法。

例7：求1+11+111+…+■之和.

解：由于■=■×■=■(10k-1) （找通項及特征）

∴1+11+111+…+■

＝■(101-1)+■(102-1)+■(103-1)+…■(10n-1) （分組求和）

＝■(101+102+103+…+10n)-■■

＝■·■-■

＝■(10n+1-10-9n)

八、組合數法

原數列各項可寫成組合數形式，則可利用公式C■■+C■■=C■■求解。

例8：求1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n的和

由1+2+3+…+n=■n(n+1)=C■■知可利用“組合數法”求和

解 Sn＝1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)

=1+3+6+■

=C■■+C■■+C■■+…C■■

=C■■+C■■+C■■+…C■■

=…

=C■■

=■n(n+1)(n+2)

數列求和問題,一般說來方法靈活多樣,解法往往不止一種,很難說盡求全。本文中所介紹的這幾種求和方法,主要是給出一些解題的思路和方法,若把握好解題思路,則可以熟練掌握數列求和的一般方法。