人民幣兌美元匯率預測的單一和混合模型比較分析

徐卓順+趙紅強

內容摘要：匯率作為具有線性和非線性復合特征的時間序列數據，單一模型和混合模型都常被用于刻畫其波動特征。為驗證兩類模型的適用性，本文選擇線性預測的ARMA模型和非線性預測的BP神經網絡模型作為單一模型進行匯率預測，并選擇小波-ARMA-BP神經網絡模型作為混合模型進行預測，并得到相關結論。

關鍵詞：匯率預測 小波 ARMA模型 BP神經網絡

前言

匯率作為國家間貨幣折算的比率，是影響一國引進外商直接投資、銀行國際金融業務、對外貿易及其風險管理的重要因素。自我國加入WTO后，隨著金融開放程度的放大，外匯風險也在不斷加大，因此，正確分析和預測外匯波動對我國政府金融政策的制定、外匯風險的規避均有至關重要的作用。但是由于匯率波動具有時變性、隨機性、模糊性和混沌性等特點，使得匯率波動的趨勢難以準確預測，但是看似無規律的匯率波動，卻又具有顯著的非線性時間依賴關系、長效記憶性和自相關性，這使得利用技術分析方法預測匯率成為可能。

常用的匯率技術預測方法為單一模型法與組合模型法：

單一模型預測法是基于時間序列分析的預測，包括參數和非參數模型（陳詩一，2007），以及線性和非線性模型（陳志民等，2007），如隨機游走模型（RW）（Messe，s.t.，1983）、自相關移動平均模型（ARMA）（楊紹創等，2009）、廣義自回歸異方差模型（GARCH）（趙樹然，2012），以及引入貝葉斯向量自回歸模型（BVAR）（Sarantis，2006）、馬爾科夫轉換模型（Charles Engel，1994）和神經網絡模型（Sfetsos s.t.，2005）等。由于單一模型各有其偏重和特長，模型的預測效果差別不大，難以較全面的反映匯率的波動規律（Sfetsos s.t.，2005），為加強預測效果，不同預測方法的組合模型應運而生。

組合預測模型可以分為線性組合模型和非線性組合模型。Bates和Granger是最初提出的線性組合預測理論的學者，隨后這一思想被應用于匯率預測中。如：惠曉峰等（1999）利用購買力平價模型和貨幣模型的線性組合預測匯率，結果表明組合模型的預測結果較單一模型更穩定。但是，由于匯率的非線性特征，運用線性組合方法預測匯率仍有較大的局限性，因此，非線性組合模型成為學者近來研究的重點。神經網絡和小波分析等方法被較多地引用到非線性組合模型中。如Tao H.（2006）利用小波-NN（Wavelet Neural Network）模型結合遺傳算法對人民幣兌歐元匯率日數據進行預測，結果顯示這一混合模型的精度高于ARMA等單一模型，而且隨著預測時間的延伸，預測精度并未降低。Pai，et al.（2006）采用線性和非線性SVM（Support Vector Machines）混合模型，通過遺傳算法計算模型參數后，分別對英鎊、法郎、德國馬克和意大利里拉兌美元匯率的月度數據進行預測，發現這一混合模型的結果優于單一模型。

可見，匯率作為具有線性和非線性復合特征的時間序列數據（Zhang，2003），其預測方法已由簡單的計量方法轉化為復雜的組合預測方法。為探究兩類模型在匯率預測中的準確度，我們選擇常用于線性預測的ARMA模型和常用于非線性預測的BP神經網絡模型作為單一模型進行預測，選擇小波-ARMA-BP神經網絡模型作為混合模型進行預測。這是因為：用于線性預測的ARMA模型能夠較好地抓住時間序列的波動集群現象并能部分解釋序列的尖峰厚尾特征。神經網絡模型作為理論依據堅實，推導過程嚴謹，公式對稱優美，具有強非線性擬合能力的模型，在選擇適當的隱層數和相應的神經元數下，前饋神經網絡能以任意精度逼近任意非線性函數。二者的特點決定了兩個模型能夠更好的預測匯率問題。而小波-ARMA-BP神經網絡模型利用了小波變換的多分辨分析特點，將原始信號分解到不同頻率通道上，并針對分解后不同信號分別采用線性預測模型和非線性模型進行預測，并將所得預測結果進行疊加，得到整個匯率的最終預測結果，這一方法為進一步提高波動性較大的匯率預測精度提供了一個新方法。

單一和混合匯率預測模型

（一）線性和非線性單一預測模型

1.ARMA預測模型。ARMA模型是自回歸（AR）與移動平均（MA）模型的混合，其表達式為：

Yt=α1Yt-1+α2 Yt-2+…+αp Yp-1+εt-β1 εt-1-…-βqεt-q

其中，αi（i=1，2，…，p）和βj（ j=1，2，…，q）作為待估參數，分別是AR模型和MA模型的系數，p和q是模型的階數，{εt}為白噪聲序列。

利用ARMA（p，q）模型預測的關鍵是階數p和q的確定，以及參數αi和βj的估計。模型階數是先依據自相關系數和偏自相關系數確定其取值范圍，再通過對階數p和q的不同取值確定模型，然后運用最小二乘法估計模型參數，并通過參數的顯著性檢驗和殘差的隨機性檢驗判斷模型的可行性，最后依據赤遲信息準則（AIC）選取最小AIC值的模型為最終的ARMA模型。若時間序列Yt為非平穩時間序列，需進行d次差分將非平穩序列轉化為平穩序列，再遵循上述建模過程建立模型，此時Yt是一個ARIMA（p，d，q）過程。

2.BP神經網絡預測模型。BP神經網絡作為典型的單項多層次前饋網絡，包含了輸入層、輸出層和隱藏層，層與層之間采用全互連方式，同層節點間無關聯，其信息處理分為前向傳播和后向學習兩步進行，網絡的學習是一種誤差從輸出層到輸入層后向傳播并修正數值的過程，學習的目的是使網絡的實際輸出逼近某個給定的期望輸出。

BP算法可以描述為：首先，給定輸入Xi和目標輸出Zk0，對于具有m個節點的輸入層，x個節點的隱層和n個節點輸出層的三層網絡而言隱層節點和輸出節點分別是：

（i=1，2，…，m，j=1，2，…，x）endprint

（j=1，2，…，x，k=1，2，…，n）

其中，rij和rjk分別是輸入層與隱含層和隱含層與輸出層之間的連接權值，γj和γk為閥值，存在r0j1=γj和r0k1=γk。λ為激活函數，取為Sigmoid型：λ（τ）=1/（1+ exp（-τ））。

隨后，從輸出層開始，進行誤差信號的反向傳播，并根據梯度法，實現誤差的精度要求，達到修正權值的目的。即：

其中，η1，η2為學習步長，μ1pj，μ2pk為誤差項，μ2pk=Zk（1-Zk）（Zk0-Zk），。E為總誤差，滿足DE<ε，（0<ε<1是誤差精度要求，t

最后，將驗證樣本輸入至網絡中，進行仿真預測，檢驗預測效果，并通過調整樣本數、節點數、誤差精度等方式重建網絡進行再訓練，以達到最優測試結果。

（二）小波-ARMA -神經網絡混合預測模型

第一步，對原始數據進行小波分解和重構。利用小波基函數對樣本數據Rt進行N層小波分解，得到第1至N層共N個高頻信號和1個第N層低頻信號：RHj={rhj，i}，Rt={rN，i} j=1，2，…，N；i=1，2，…，I。其中，RHj為第j層高頻信號，RN為第N層低頻信號，ri為第i個樣本數據，I為時間序列的長度。由于每進行一層分解所得的信號減少一倍，這不利于預測，為使各層信號個數保持不變，需要對各層進行小波重構，重構到原尺度后可得N+1個與原始信號長度相同的信號和RH1，RH2，…，RHN 和RN，則有：

R=RH1+RH2+…，RHN+RN，

其中，RHj={rhj，i，1≤i≤I}為重構后的第j層高頻信號，RN={rN，i，1≤i≤N}為重構后的第N層低頻信號。則有，rj=rh1， j+rh2， j +…+rhN， j+rN，j。

第二步，低頻信號預測。對于較平滑的低頻信號采用ARMA模型進行預測。

第三步，高頻信號預測。對N個高頻信號分別建立BP神經網絡預測模型進行預測。

最后，預測值組合。預測值的合成方法有很多，這里采用最簡單的方式，將各高頻信號和低頻信號經預測得到的預測值直接對應相加，得到最終預測結果。

（三）預測值精度判斷

將ARMA預測方法與BP神經網絡算法所得結果與小波-ARMA -神經網絡混合預測模型的最終預測值進行比較，評價指標選擇均方誤差（MSE）以及方向變化統計量（Dstat），二者分別定義為：

其中，εt為匯率的預測誤差，即εt=Rt -Rt，T為預測樣本長度；若（Rt+1-Rt）（Rt+1-Rt）≥0，θt=1，否則θt=0。

人民幣兌美元匯率預測

本文選擇2005年7月21日-2013年2月17日的人民幣兌美元匯率中間價Pt為樣本數據，因為要使用ARMA模型，而該模型的適用對象是平穩的時間序列，因而，將匯率序列轉換為收益率序列Rt（Rt=log（Pt /Pt-1））進行研究。排除節假日共有1832個數據（見圖1）。選取前1802個數據作為訓練數據，將后30個數據分為三個預測期限進行樣本外預測。因所選的單一模型是混合模型的一部分，因而，下面僅詳細描述混合模型的預測過程。

（一）匯率序列的小波分解與重構

綜合考慮Hear、Daubechies（dbN）、Biorthogonal、Coiflets、Mexican、Meyer六類小波函數的基本特性，針對匯率數據的特征，選擇了dbN函數作為小波基函數。通過對比dbN系列小波中各小波的正則性，對匯率序列采用db5小波進行分解，分解層數為三層。分解結果見圖2至圖5，其中，ca3是低頻信號，cd1、cd2和cd3是第1-3層高頻信號。

（二）匯率預測

對得到的第3層低頻信號和第1至3層共3個高頻信號分別采用ARMA模型和BP神經網絡進行預測。

第一步，利用ARMA模型對第3層低頻信號進行預測。

對序列進行單位根（ADF）檢驗顯示序列為平穩的時間序列，可以直接建立ARMA（p，q）模型。隨后，通過觀察序列的自相關系數和偏自相關系數圖，發現序列為自相關系數拖尾，偏自相關系數2階截尾，因而模型階數p和q初步確定為2和0～6，依次對各模型進行估計，得到各模型的AIC值，再綜合考慮參數的顯著性水平和模型整體擬合情況等因素，選擇了ARMA（2，6）模型。模型的估計結果為：

可以看出，模型絕大部分參數的t檢驗均顯著。再觀察模型殘差項的自相關和偏自相關圖，發現其自相關和偏自相關系數均在95%的置信區間內，殘差的ADF檢驗結果也顯示殘差序列是平穩序列，說明模型的選擇是合適的。

第二步，對三個高頻信號運用BP神經網絡采用單步滾動方式進行預測，并通過試錯法確定三層BP模型的輸入層及隱含層的節點數（見表1）。將BP神經網絡輸入及隱含層轉換函數設為tansig，輸出層的轉換函數設為purelin，訓練函數設為trainlm，訓練次數設為2000，訓練動量系數為0.9，學習速率為0.05，訓練目標誤差為0.001。利用BP神經網絡依次對各高頻信號進行訓練后，誤差分別達到5.724969×10-4、3.746547×10-4和2.049851×10-4。

（三）預測精度計算

將上述小波分解的預測結果進行加總后，與其他方法（ARMA模型和BP模型）比較其均方誤差（MSE）與方向統計量（Dstat），所得結果見表2。可以看出：在人民幣兌美元匯率序列的日度數據預測上，混合模型（小波-ARMA-BP）與ARMA模型和BP模型存在顯著差異。混合模型在三個不同預測時期內的均方誤差MSE依次為1.632696×10-4、1.367240×10-4和

1.054467×10-4，遠優于單一模型。ARMA的模型預測效果雖遠遜于混合模型，但卻優于BP模型。同時，混合模型和BP模型的長期預測效果要好于短期和中長期的預測效果，而ARMA模型的長期和短期預測效果要好于中長期的預測效果；在人民幣兌美元匯率序列的方向預測上，混合模型的方向預測統計量優于單一模型，且中長期與ARMA模型基本一致，且優于BP模型，同時方向統計量存在下降的趨勢。

隨后，選擇2005年7月-2013年2月人民幣兌美元匯率中間價為樣本數據，并將匯率序列轉換為收益率序列進行研究。共計90個數據。選取前81個數據作為訓練數據，將后9個數據分為三個預測期限進行樣本外預測，依照單一模型與混合模型的預測方法，選擇ARMA（3，3）以及BP（8，12）模型作為單一模型對人民幣兌美元月匯率進行了預測。同時，采用db5小波基函數有效分解并重構出匯率波動的三層高頻信號和低頻信號后，再運用 ARMA（2，6）模型的預測得到了匯率波動中的線性部分。并運用BP（8，15）、BP（8，12）和BP（8，12）的神經網絡模型分別對一至三層高頻部分進行預測得到了匯率波動中的非線性部分，加總預測結果得到了月度匯率波動的短期、中期和長期預測值的均方誤差與方向統計量見表3。可以看出：在人民幣兌美元匯率序列的月度數據預測上，混合模型在三個不同時期內的均方誤差MSE和方向統計量均遠遜于ARMA和BP所代表的單一模型。同時，ARMA模型的短期和長期統計結果均優于BP模型。而ARMA模型的中長期均方誤差略大于BP模型，但二者的方向統計量相同。

結論

綜上所述，本文認為匯率具有復雜的波動特性，單一模型和混合模型都曾被用于匯率預測，為驗證這兩類模型預測的有效性，我們選擇ARMA和BP模型作為單一模型，并選擇小波-ARMA-BP混合模型分別對人民幣兌美元日匯率和月匯率進行預測。預測結果顯示：對于人民幣兌美元匯率的日度數據，小波-ARMA-BP混合模型較單一模型的預測效果較好。其中，混合模型的均方誤差遠低于單一模型，且ARMA模型較BP模型的預測效果稍好。混合模型的方向預測結果也優于單一模型，且中長期的方向預測結果與ARMA模型結果一致。而且，相較于單一模型，這一混合模型的中長期預測結果更顯著；對于人民幣兌美元匯率的月度數據，單一模型的預測效果要優于混合模型，且單一模型中的ARMA模型的預測效果要好于BP模型。同時，ARMA模型的短期和長期的預測效果要優于BP模型。中期內，ARMA模型的均方誤差略大于BP模型，但二者的方向統計量一致。

因而，可以說，對于波動性較大的日度匯率數據，小波-ARMA-BP混合模型利用小波變換的多分辨分析特點，將原始信號分解到不同頻率通道上，并針對分解后的低頻信號（線性部分）和高頻信號（非線性部分）分別采用ARMA模型和BP神經網絡模型進行預測，并將所得預測結果進行疊加，得到整個匯率的最終預測結果，這一方法能夠有效彌補單一模型僅能進行線性預測或是非線性預測的缺陷，降低了模型誤差，達到較準確預測匯率趨勢的目的，從而為制定合適的貨幣政策和宏觀經濟政策提供有利的依據。而對于相對平穩的月度匯率數據，混合模型在進行加權計算時，各單一模型在處理數據過程中所產生的誤差也被加總，而且這一誤差無法被混合模型的優勢所彌補，因而此時單一模型相對更有效。可見，無論是單一模型還是混合模型都有其優勢，要根據匯率波動的幅度選擇最優預測模型。

參考文獻：

1.陳景良，陳向輝.特殊矩陣[M].清華大學出版社，2000

2.Zhang G P. Time Series Forecasting Using a Hybrid a ARIMA and Neural Network Model[J]. Neuro-computing，2003，50

3.王維，賀京同，張建勛等.人工神經網絡在非線性經濟預測中的應用[J].系統工程學報，2005，15

4.Ping-Feng Pai，Chih-Shen Lin. A Hybrid Support Vector Machine Regression for Exchange Rate Prediction[J]. Information and Management Sciences，2006，17（2）

5.Krogh，A. and Vedelsby，J.. Neural network ensembles，cross validation，and active learning[J]. Advances in Neural Information Processing System，1995，7endprint

隨后，選擇2005年7月-2013年2月人民幣兌美元匯率中間價為樣本數據，并將匯率序列轉換為收益率序列進行研究。共計90個數據。選取前81個數據作為訓練數據，將后9個數據分為三個預測期限進行樣本外預測，依照單一模型與混合模型的預測方法，選擇ARMA（3，3）以及BP（8，12）模型作為單一模型對人民幣兌美元月匯率進行了預測。同時，采用db5小波基函數有效分解并重構出匯率波動的三層高頻信號和低頻信號后，再運用 ARMA（2，6）模型的預測得到了匯率波動中的線性部分。并運用BP（8，15）、BP（8，12）和BP（8，12）的神經網絡模型分別對一至三層高頻部分進行預測得到了匯率波動中的非線性部分，加總預測結果得到了月度匯率波動的短期、中期和長期預測值的均方誤差與方向統計量見表3。可以看出：在人民幣兌美元匯率序列的月度數據預測上，混合模型在三個不同時期內的均方誤差MSE和方向統計量均遠遜于ARMA和BP所代表的單一模型。同時，ARMA模型的短期和長期統計結果均優于BP模型。而ARMA模型的中長期均方誤差略大于BP模型，但二者的方向統計量相同。

結論

綜上所述，本文認為匯率具有復雜的波動特性，單一模型和混合模型都曾被用于匯率預測，為驗證這兩類模型預測的有效性，我們選擇ARMA和BP模型作為單一模型，并選擇小波-ARMA-BP混合模型分別對人民幣兌美元日匯率和月匯率進行預測。預測結果顯示：對于人民幣兌美元匯率的日度數據，小波-ARMA-BP混合模型較單一模型的預測效果較好。其中，混合模型的均方誤差遠低于單一模型，且ARMA模型較BP模型的預測效果稍好。混合模型的方向預測結果也優于單一模型，且中長期的方向預測結果與ARMA模型結果一致。而且，相較于單一模型，這一混合模型的中長期預測結果更顯著；對于人民幣兌美元匯率的月度數據，單一模型的預測效果要優于混合模型，且單一模型中的ARMA模型的預測效果要好于BP模型。同時，ARMA模型的短期和長期的預測效果要優于BP模型。中期內，ARMA模型的均方誤差略大于BP模型，但二者的方向統計量一致。

因而，可以說，對于波動性較大的日度匯率數據，小波-ARMA-BP混合模型利用小波變換的多分辨分析特點，將原始信號分解到不同頻率通道上，并針對分解后的低頻信號（線性部分）和高頻信號（非線性部分）分別采用ARMA模型和BP神經網絡模型進行預測，并將所得預測結果進行疊加，得到整個匯率的最終預測結果，這一方法能夠有效彌補單一模型僅能進行線性預測或是非線性預測的缺陷，降低了模型誤差，達到較準確預測匯率趨勢的目的，從而為制定合適的貨幣政策和宏觀經濟政策提供有利的依據。而對于相對平穩的月度匯率數據，混合模型在進行加權計算時，各單一模型在處理數據過程中所產生的誤差也被加總，而且這一誤差無法被混合模型的優勢所彌補，因而此時單一模型相對更有效。可見，無論是單一模型還是混合模型都有其優勢，要根據匯率波動的幅度選擇最優預測模型。

參考文獻：

1.陳景良，陳向輝.特殊矩陣[M].清華大學出版社，2000

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4.Ping-Feng Pai，Chih-Shen Lin. A Hybrid Support Vector Machine Regression for Exchange Rate Prediction[J]. Information and Management Sciences，2006，17（2）

5.Krogh，A. and Vedelsby，J.. Neural network ensembles，cross validation，and active learning[J]. Advances in Neural Information Processing System，1995，7endprint

隨后，選擇2005年7月-2013年2月人民幣兌美元匯率中間價為樣本數據，并將匯率序列轉換為收益率序列進行研究。共計90個數據。選取前81個數據作為訓練數據，將后9個數據分為三個預測期限進行樣本外預測，依照單一模型與混合模型的預測方法，選擇ARMA（3，3）以及BP（8，12）模型作為單一模型對人民幣兌美元月匯率進行了預測。同時，采用db5小波基函數有效分解并重構出匯率波動的三層高頻信號和低頻信號后，再運用 ARMA（2，6）模型的預測得到了匯率波動中的線性部分。并運用BP（8，15）、BP（8，12）和BP（8，12）的神經網絡模型分別對一至三層高頻部分進行預測得到了匯率波動中的非線性部分，加總預測結果得到了月度匯率波動的短期、中期和長期預測值的均方誤差與方向統計量見表3。可以看出：在人民幣兌美元匯率序列的月度數據預測上，混合模型在三個不同時期內的均方誤差MSE和方向統計量均遠遜于ARMA和BP所代表的單一模型。同時，ARMA模型的短期和長期統計結果均優于BP模型。而ARMA模型的中長期均方誤差略大于BP模型，但二者的方向統計量相同。

結論

綜上所述，本文認為匯率具有復雜的波動特性，單一模型和混合模型都曾被用于匯率預測，為驗證這兩類模型預測的有效性，我們選擇ARMA和BP模型作為單一模型，并選擇小波-ARMA-BP混合模型分別對人民幣兌美元日匯率和月匯率進行預測。預測結果顯示：對于人民幣兌美元匯率的日度數據，小波-ARMA-BP混合模型較單一模型的預測效果較好。其中，混合模型的均方誤差遠低于單一模型，且ARMA模型較BP模型的預測效果稍好。混合模型的方向預測結果也優于單一模型，且中長期的方向預測結果與ARMA模型結果一致。而且，相較于單一模型，這一混合模型的中長期預測結果更顯著；對于人民幣兌美元匯率的月度數據，單一模型的預測效果要優于混合模型，且單一模型中的ARMA模型的預測效果要好于BP模型。同時，ARMA模型的短期和長期的預測效果要優于BP模型。中期內，ARMA模型的均方誤差略大于BP模型，但二者的方向統計量一致。

因而，可以說，對于波動性較大的日度匯率數據，小波-ARMA-BP混合模型利用小波變換的多分辨分析特點，將原始信號分解到不同頻率通道上，并針對分解后的低頻信號（線性部分）和高頻信號（非線性部分）分別采用ARMA模型和BP神經網絡模型進行預測，并將所得預測結果進行疊加，得到整個匯率的最終預測結果，這一方法能夠有效彌補單一模型僅能進行線性預測或是非線性預測的缺陷，降低了模型誤差，達到較準確預測匯率趨勢的目的，從而為制定合適的貨幣政策和宏觀經濟政策提供有利的依據。而對于相對平穩的月度匯率數據，混合模型在進行加權計算時，各單一模型在處理數據過程中所產生的誤差也被加總，而且這一誤差無法被混合模型的優勢所彌補，因而此時單一模型相對更有效。可見，無論是單一模型還是混合模型都有其優勢，要根據匯率波動的幅度選擇最優預測模型。

參考文獻：

1.陳景良，陳向輝.特殊矩陣[M].清華大學出版社，2000

2.Zhang G P. Time Series Forecasting Using a Hybrid a ARIMA and Neural Network Model[J]. Neuro-computing，2003，50

3.王維，賀京同，張建勛等.人工神經網絡在非線性經濟預測中的應用[J].系統工程學報，2005，15

4.Ping-Feng Pai，Chih-Shen Lin. A Hybrid Support Vector Machine Regression for Exchange Rate Prediction[J]. Information and Management Sciences，2006，17（2）

5.Krogh，A. and Vedelsby，J.. Neural network ensembles，cross validation，and active learning[J]. Advances in Neural Information Processing System，1995，7endprint