最小Q－過程的Ray－Knight緊化與Martin邊界關系的實例分析*

郝淑雙，徐長偉

（1.黃河科技學院信息工程學院電子系，河南鄭州 450063;2.中原工學院理學院數學系，河南鄭州 450007）

最小Q－過程的Ray－Knight緊化與Martin邊界關系的實例分析*

郝淑雙1，徐長偉2

（1.黃河科技學院信息工程學院電子系，河南鄭州 450063;2.中原工學院理學院數學系，河南鄭州 450007）

文中在極小轉移函數Pmijin（t）誠實的條件下討論最小Q－過程的Martin流出邊界與Ray－Knight緊化的關系，并實例分析Martin流入邊界與Ray－Knight緊化所添加的點之間具有一一對應關系.

最小Q－過程;Ray－Knight緊化;Martin流出邊界;Martin流入邊界

為解決Q過程的構造問題，需要研究Q過程的邊界，將狀態空間E進行緊化.最簡單的緊化是單點緊化，但很多情況下僅僅用單點緊化是不夠的.Doob結合馬氏鏈的軌道引進了Martin邊界，侯振挺［1］在對馬氏鏈不加任何限制的情況下，導出了馬氏鏈的 Martin邊界及 Martin流入邊界.Getoor，R.K.［2］定義E的Ray－Knight緊化珔E，上述兩種緊化方法對馬氏鏈的構造有非常重要的作用，在［3］中得出結論:在Martin流入邊界有限的條件下，Martin流入邊界中的點與Ray－Knight緊化所添加的點之間具有一一對應關系.本文研究最小轉移函數Pminij（t）誠實的條件下最小Q－過程的Martin流出邊界與Ray－Knight緊化的關系，同時結合［3］舉例詳細說明Martin流入邊界與Ray－Knight緊化的一一對應關系.

設E={0，1，2，…}，Pij（t）（i，j∈E，t＞0）是E上誠實且標準的轉移函數，Pij（t）所確定的Q矩陣Q=（qij） 全 穩 定.X=（Ω，F，Ft，Xt，θt，Px） 是Pij（t）所確定的正規鏈.因為Q全穩定且Pminij（t）誠實，所以Pmin

ij（t）是向后或向前方程的唯一解且是唯一的Q函數，即Pij（t）與Pminij（t）相同，故X是E上以Pij（t）為轉移函數的不中斷的最小Q－過程，設XT={Xτn}為X的嵌入鏈.首先討論最小Q－過程的Martin流出邊界與Ray－Knight緊化的關系.

1 最小Q－過程的Martin流出邊界與Ray－Knight緊化

（1）最小Q－過程的Ray－Knight緊化.X是不中斷的極小過程，Pminij（t）是其誠實且標準的轉移函數，由［1］可得E的Ray－Knight緊化珔E及ER，E+.由Ray－Knight方法我們可得珔E=E∪{∞}，其中{∞}中的點的個數唯一，且ER=E+=E.

（2）最小Q－過程X的Martin流出邊界.X是不中斷的極小過程，XT={Xτn}為X的嵌入鏈，τn表示X的第n個跳躍時刻，令Ω.由［2］可得XT的Martin邊界E、本質Martin邊界B、Martin核K（·，ξ）以及終極狀態Xβ.易得最小Q－過程X的Martin流出邊界Be、Martin消極邊界Bp.從而在最小Q－過程不中斷條件下有結論:X∞∈Bp，BeE=.

例 1 設E={1，2，3，4，…}E1={1，4，7，10，…}，E2={2，5，8，11，…}，E3={3，6，9，12，…}，轉移函數PIJ（t）所確定的Q矩陣為

設X={Xt}是上述Q矩陣對應的Q過程，XT={Xτn}為X的嵌入鏈，則XT以Π=（Πij）i，j∈E為單步轉移概率.這時{Xt}的軌道為下面三種情形:

且Kλ（2，ξ1）=Kλ（3，ξ1）=Kλ（5，ξ1）=…=0，故ξ1Be且 ξ1∈Bp，同理 ξ2Be且 ξ2∈Bp，ξ3Be且ξ3∈Bp，即最小Q－過程X的本質Martin邊界B={ξ1，ξ2，ξ3}，Martin 流出邊界Be=Φ ，Martin 消極邊界Bp={ξ1，ξ2，ξ3}.

注:該例說明一般情況下，Pminij（t）誠實時最小Q－過程的Martin流出邊界點要比R－K緊化所加邊界點要多;但如果Q單流出，則兩種情況所加邊界點個數相同.

2 最小Q－過程的Martin流入邊界與Ray－Knight緊化

由［3］若E+E有限，則存在雙射:^Be→E+E.下面舉例詳細說明Martin流入邊界^Be與 Ray－Knight緊化之間的一一對應關系，該例有助于研究馬氏鏈構造論中邊界點的構造.

例2 設E={1，2，3，4，…}，E1={1，4，7，10，…}，E2={2，5，8，11，…}，E3={3，6，9，12，…}，設q=0，1i3;qi=i2，i4，i∈E.令qij=－qi，若i=j;qij=－qi，若i=j+3;qij=0，其它.設X={X（t）}是上述Q=（qij）矩陣對應的極小過程，則{X（t）}的軌道為:

［1］Yang，X.Q.，The Construction Theory oI Denumerable Markov Processes［M］.Hunan Science and technology Publishing House，1990.

［2］Getoor，R，K.，Markov Processes:Ray Processes and Right Processes［M］.Springer－ Verl－ ag，Berlin Heidelberg New York，1975.

［3］徐長偉，閻國軍，郝淑雙.最小Q－過程的Martin流入邊界與 Ray－Knight緊化［J］.應用概率統計，2011（6）.

［4］王梓坤，楊向群.生滅過程和馬爾科夫鏈［M］.北京:科學出版社，2005.

O211.62

A

1008－7974（2014）03－0028－03

2014－02－12

郝淑雙（1978－），女，河南南陽人，碩士，講師.

河南省教育廳科學技術研究項目（編號:2012B110016）.

（責任編輯:王宏志）