泊松分布中參數(shù)的經(jīng)典估計與Bayes估計的相等關(guān)系

姚 麗,李軼凡

(1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000;2.東北師范大學(xué) 生命科學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130024)

文獻(xiàn)[1]中稱“貝葉斯學(xué)派至今尚未證明總體分布p(x/θ)中的參數(shù)的任一經(jīng)典估計都存在一個先驗分布，使得其貝葉斯估計就是該經(jīng)典估計”，這一命題現(xiàn)在仍未解決.由于泊松分布是實際中比較常用的離散分布，并且矩估計和最大似然估計是主要的參數(shù)估計方法，為此，以泊松分布為研究對象來探討命題真?zhèn)螌τ谧罱K解決問題是有益的.本文證明了泊松分布中未知參數(shù)的經(jīng)典估計(矩估計和最大似然估計)，一定存在一個先驗分布，使其貝葉斯估計就是該參數(shù)的經(jīng)典估計的結(jié)論.

1 泊松分布中未知參數(shù)的經(jīng)典估計

泊松分布是1837年由法國數(shù)學(xué)家Poisson S.D.首次提出來的，其概率分布列為

其中，未知參數(shù)λ>0，記X～P(λ).泊松分布作為一種常用的離散分布，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中具有非常重要的意義.

1.1 矩估計

1.2 最大似然估計

泊松分布中樣本的似然函數(shù)

對數(shù)似然函數(shù)

2 泊松分布的后驗分布

未知參數(shù)λ的后驗分布

3 泊松分布中未知參數(shù)λ在取Ga(α,β)下的Bayes估計

證明 我們知道，在平方損失L(λ,δ)=(δ-λ)2下，任何一個決策函數(shù)δ=δ(x)，其后驗風(fēng)險為

4 結(jié)論

本文以泊松分布為例，討論并且證明了其未知參數(shù)λ的經(jīng)典估計(矩估計和最大似然估計)都存在一個先驗分布

使得其貝葉斯估計就是該經(jīng)典估計，這一結(jié)論的確定有利于我們繼續(xù)研究貝葉斯統(tǒng)計中未解決的問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]茆詩松.貝葉斯統(tǒng)計[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,1999.

[2]彭燕.貝葉斯估計和經(jīng)典估計的對比研究[J].岳陽師范學(xué)院學(xué)報,2002,15(1).

[3]張堯庭,陳漢峰.貝葉斯統(tǒng)計推斷[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

[4]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2008.

[5]茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2006.