探研偶數階微分方程主次特征值之比的下界*

黃振明，陳 軍

（蘇州市職業大學基礎部，江蘇蘇州 215104）

探研偶數階微分方程主次特征值之比的下界*

黃振明，陳 軍

（蘇州市職業大學基礎部，江蘇蘇州 215104）

考慮偶數階微分方程在Dirichlet和Neumann邊界條件下廣義特征值的估計，利用方程特征值理論、分部積分、測試函數、廣義Rayleigh定理和不等式估計等方法，獲得了主次特征值之比的下界估計不等式，且估計值與區間的幾何量無關.

微分方程;主、次特征值;下界;估計

1 引言

在19世紀30年代，法國數學家斯圖姆（Sturm）和劉維爾（Liouville）詳細討論了如下一個二階線性常微分方程零邊值問題，即后人所謂的S－L問題，

建立了有關特征值、特征函數空間最初的完整理論，自此開創了各種特征值問題的研究，并得到了與上述S－L問題相類似的結論.近年來，學者們將特征值問題推廣至廣義特征值問題，即在一定邊界條件下，研究微分方程（組）Ay=λBy，其中A，B為線性微分算子，特別在特征值估計方面取得了一系列成果［1－8］，其中文［1］和文［2］分別討論了一類四階和六階微分方程廣義特征值的上界估計，筆者將文［1］和文［2］中的方程進行推廣，并將權推廣至x的任意函數s（x），考慮如下一般情形的偶數階微分方程（1）的廣義特征值估計問題

其中（a，b）R是一個有界區間，a＜b，正整數n3，p（x）∈Cn（［a，b］），q（x）∈C（［a，b］），q（x）0，s（x）∈C1（［a，b］），且滿足

其中 μi，vi（i=1，2）為正常數.

筆者參照并改進文［3］中的討論方法，得到了如下的主要結果.

定理1 設λ1，λ2是問題（1）的主、次特征值，則有估計式

2 定理的證明

設問題（1）的主、次特征值分別為 λ1，λ2，由微分方程特征值理論知0＜λ1λ2，又記λ1相應的主特征函數為y，且滿足即

由式（3）和（5）可得

引理2 設λ1是問題（1）的主特征值，則當n3時，下列不等式成立.

再將引理4的估計結果代入上式左端，化簡便得定理的式（4）.

3 結語

特征值估計是特征值研究的重要內容之一，本文考慮了偶數階常微分方程（1）的廣義特征值估計，獲得了主、次特征值之比的下界估計不等式，其估計系數與所論區間的幾何量a，b無關，文［1］討論的方程是本文方程（1）當n=2時的特例，文［2］討論的方程也是本文方程（1）當n=3，q（x）=0，s（x）=1時的特例，因此本文的結果是文［1］和［2］的進一步推廣，在特征值數值定量分析中有著一定的參考和應用價值［9－10］，至于問題（1）中的方程在其它邊界條件下是否有類似式（4）的特征值估計結論還有待于進一步研究.

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［2］韓秋敏，錢椿林.六階某類微分方程第二特征值的上界［J］.蘇州大學學報，1999，15（4）:26 －30.

［3］趙曉蘇，錢椿林.六階微分系統帶權第二特征值的上界［J］.長春大學學報，2010，20（8）:10 －13.

［4］曾維國，錢椿林.斯圖姆－劉維爾問題的特征值［J］.工科數學，1992，8（1）:28 －32.

［5］金光宇，錢椿林.四階常微分方程的特征值估計［J］.蘇州絲綢工學院學報，1996，16（4）:115 －119.

［6］黃振明.六階常微分方程的特征值的上界估計［J］.江蘇廣播電視大學學報，2005，16（3）:68 －70.

［7］吳平，錢椿林.高階常微分方程特征值的上界估計［J］.蘇州鐵道師院學報，2001，18（3）:3 －9.

［8］賈高.梁橫向振動方程的特征值估計［J］.安徽大學學報，1997，21（2）:29 －33.

［9］Hile G H.and Yen R Z.Inequalities for Eigenvalues of the Biharmonic Operator［J］.Pacific J Math，1984，112（1）:115 －132.

［10］Protter M H.Can one hear the shape of a drum［J］.SIAM Rev.1987，29（2）:185 －197.

Lower Bound Estimate of Ratio of Principal Eigenvalue to Secondary Eigenvalue for Even－order Differential Equation

HUANG Zhen － ming，CHEN Jun
（Department of Basic Courses，Suzhou Vocational University，Suzhou，Jiangsu 215104，China）

This paper presents the generalized eigenvalue estimate for even－order differential equation under the Neumann boundary condition as well as Dirichlet.The inequality of the lower bound of the ratio of principal eigenvalue to secondary eigenvalue is estimated by using eigenvalue theory of equation，integration by parts，trial function，generalized Rayleigh theorem and inequality estimate etc.The estimate is irrelevant to the geometric sense of the domain.

differential equation;principal and secondary eigenvalue;lower bound;estimate

O175.1

A

1008－7974（2014）03－0024－04

2013－12－20

黃振明（1962－），江蘇蘇州人，副教授.

（責任編輯:王宏志）