后方交會精度估算分析研究

唐渝

摘 要：文章采取數據模擬方法分析了最小二乘原理用于后方交會點位精度估算的準確性，發現其存在不適用的情況，為了確保后方交會點位精度滿足工程測量的需要，文章提出了一種后方交會點位誤差極值估算方法，該方法適用范圍廣泛，具有一定參考價值。

關鍵詞：后方交會；全站儀；精度估算；誤差區域；

控制網測量數據處理一般都會采用最小二乘原理進行平差及精度估算，對于后方交會的精度估算一些論文亦采用此種方法，然而本文通過分析研究發現最小二乘原理在全站儀后方交會精度估算中并不完全適用，某些情況下估算精度不能反應實際點位精度。下面本文將簡單介紹兩種基于最小二乘原理的點位精度估算方法，通過對比分析闡明這2種方法是否適用于后方交會點位精度估算，并提出一種利用計算機編程設計的后方交會點位精度極值的估算方法。

1 最小二乘原理平差過程及精度估算

首先按間接平差原理列出誤差方程：

v=Bx-L 1-1

其次確定權陣P，觀測值中含有角度和距離兩種不同性質的值，一般按下列方法定權：設全站儀測角精度為m0，測距固定誤差為ma，比例誤差為mb，取水平角的測角中誤差為單位權中誤差，則角度觀測值的權為，測邊觀測值的權為：

2 兩種后方交會精度估算方法對比分析

為了便于分析，本文將以2點邊角后方交會及精度較低的全站儀為例，用數據模擬法對公式1-6、1-7兩種精度估算數據與實際點位偏差進行對比分析。

如圖1所示，A、B兩點為已知控制點，坐標分別為（750.6026，2784.488）（680.375，2866.2249），P點為設站點，距離觀測值分別為SPA、SPB，方向觀測值分別為LPA、LPB。若P點理論坐標P0為（638.4239，2580.876），則理論距離觀測值S0PA = 232.4691 m，S0PB= 288.4161 m，設A點方向值L0PA = 0°00′10″，則理論B點方向觀測值L0PB = 20°29′29.5″。

現假設全站儀測角精度為5”，測距精度為5mm+5ppm，將理論觀測數據加上觀測誤差得到9組模擬觀測數據，見表1，表中觀測數據相對誤差是逐漸增大的，然后對數據進行平差處理，以平差后坐標P與理論坐標P0計算可得實際點位偏差Mp0，按公式1-6和1-7，分別計算得到估算點位精度Mp1、Mp2，估算點位精度與實際點位偏差對比見圖2。

通過表1及圖2可知，在觀測數據相對誤差不斷增大時，實際點位偏差亦不斷增大，方法1估算的精度值呈波浪式增漲，方法2估算精度值基本不變。方法1從第2組數據開始實際點位偏差大于估算精度值，最小差值3.9mm，最大差值21.8mm；方法2從第6組數據開始實際點位偏差大于估算精度值，最小差值2.2mm，最大差值9mm。由分析可知：通常的控制網點位精度估算方法（即方法1）并不適合后方交會點位精度評定；方法2在一般情況下可以作為后方交會點位精度評定方法，但當觀測數據相對誤差較大時，采用其估算數據亦需慎重。

3 后方交會點位誤差極值求法

當求出平差后的待定點坐標后，如果我們知道待定點真實坐標，則可以通過兩點間距離公式求出實際的點位誤差。本論文求后方交會點誤差極值的方法就是遍歷平差坐標周圍的點，假設其為真實坐標，然后聯合已知點反算出觀測數據（觀測距離、觀測角度），只要反算的觀測數據與實際觀測數據之差小于等于先驗觀測誤差，則該坐標可能為真實待定點坐標，遍歷尋找出可以作為真實坐標最遠的點，該點與平差坐標之間的距離即為后方交會點位誤差極值。

為了便于介紹，此處還是以2點邊角后方交會為例。后方交會待定點真實坐標可能出現的位置見圖3最右側陰影區域，該區域為圖3中角度交會誤差區域與距離交會誤差區域的交集，圖中虛線交點為平差后待定點坐標。

通過C# 編程生成后方交會點位精度極值估算程序，程序算例見表1，表中“Mp3（mm）”列為通過該程序算出的交會點位誤差極值，點位誤差極值與其它方法點位精度估算值及真實偏差對比見圖2，由圖可知真實偏差均小于該程序計算出的交會誤差極值，當觀測數據相對誤差較大時，實際偏差會非常接近交會誤差極值。

4 結語

傳統的后方交會點位精度估算方法（即本文中的方法2）僅適合存在多余觀測量的后方交會，在觀測數據相對誤差較大時此方法亦不適用，而且對于純角度交會無法檢測出危險圓，導致估算精度錯誤。本文提出的后方交會誤差極值求法可以作為傳統后方交會點位精度估算方法的補充，該方法適用范圍廣泛，既適用于有多余觀測量的后方交會，亦適合無多余觀測量的后方交會，若角度后方交會中存在危險圓的情況，該方法估算精度值會提示超限，從而避免使用錯誤精度估算值。通過圖3還可以發現，Mp1線形與Mp3線形近似上下對稱，造成該現象的原因，有待進一步分析研究。

參考文獻

[1] 武漢測繪科技大學測量平差教研室.測量平差基礎[M].北京：測繪出版社，1996.

[2] 程效軍，繆盾.全站儀自由設站法精度探討[J].鐵道勘查，2008（06）.

[3] 何燕佑，許多文.關于全站儀自由設站原理及精度的探究[J].科技情報開發與經濟，2009（29）.

[4] 聞道秋.測邊和測角相結合的兩已知點后方交會[J].東北測繪，1998（02）.

[5] 楊守菊，徐常亮.全站儀自由設站的應用及精度分析[J].甘肅科技，2008（19）.

摘 要：文章采取數據模擬方法分析了最小二乘原理用于后方交會點位精度估算的準確性，發現其存在不適用的情況，為了確保后方交會點位精度滿足工程測量的需要，文章提出了一種后方交會點位誤差極值估算方法，該方法適用范圍廣泛，具有一定參考價值。

關鍵詞：后方交會；全站儀；精度估算；誤差區域；

控制網測量數據處理一般都會采用最小二乘原理進行平差及精度估算，對于后方交會的精度估算一些論文亦采用此種方法，然而本文通過分析研究發現最小二乘原理在全站儀后方交會精度估算中并不完全適用，某些情況下估算精度不能反應實際點位精度。下面本文將簡單介紹兩種基于最小二乘原理的點位精度估算方法，通過對比分析闡明這2種方法是否適用于后方交會點位精度估算，并提出一種利用計算機編程設計的后方交會點位精度極值的估算方法。

1 最小二乘原理平差過程及精度估算

首先按間接平差原理列出誤差方程：

v=Bx-L 1-1

其次確定權陣P，觀測值中含有角度和距離兩種不同性質的值，一般按下列方法定權：設全站儀測角精度為m0，測距固定誤差為ma，比例誤差為mb，取水平角的測角中誤差為單位權中誤差，則角度觀測值的權為，測邊觀測值的權為：

2 兩種后方交會精度估算方法對比分析

為了便于分析，本文將以2點邊角后方交會及精度較低的全站儀為例，用數據模擬法對公式1-6、1-7兩種精度估算數據與實際點位偏差進行對比分析。

如圖1所示，A、B兩點為已知控制點，坐標分別為（750.6026，2784.488）（680.375，2866.2249），P點為設站點，距離觀測值分別為SPA、SPB，方向觀測值分別為LPA、LPB。若P點理論坐標P0為（638.4239，2580.876），則理論距離觀測值S0PA = 232.4691 m，S0PB= 288.4161 m，設A點方向值L0PA = 0°00′10″，則理論B點方向觀測值L0PB = 20°29′29.5″。

現假設全站儀測角精度為5”，測距精度為5mm+5ppm，將理論觀測數據加上觀測誤差得到9組模擬觀測數據，見表1，表中觀測數據相對誤差是逐漸增大的，然后對數據進行平差處理，以平差后坐標P與理論坐標P0計算可得實際點位偏差Mp0，按公式1-6和1-7，分別計算得到估算點位精度Mp1、Mp2，估算點位精度與實際點位偏差對比見圖2。

通過表1及圖2可知，在觀測數據相對誤差不斷增大時，實際點位偏差亦不斷增大，方法1估算的精度值呈波浪式增漲，方法2估算精度值基本不變。方法1從第2組數據開始實際點位偏差大于估算精度值，最小差值3.9mm，最大差值21.8mm；方法2從第6組數據開始實際點位偏差大于估算精度值，最小差值2.2mm，最大差值9mm。由分析可知：通常的控制網點位精度估算方法（即方法1）并不適合后方交會點位精度評定；方法2在一般情況下可以作為后方交會點位精度評定方法，但當觀測數據相對誤差較大時，采用其估算數據亦需慎重。

3 后方交會點位誤差極值求法

當求出平差后的待定點坐標后，如果我們知道待定點真實坐標，則可以通過兩點間距離公式求出實際的點位誤差。本論文求后方交會點誤差極值的方法就是遍歷平差坐標周圍的點，假設其為真實坐標，然后聯合已知點反算出觀測數據（觀測距離、觀測角度），只要反算的觀測數據與實際觀測數據之差小于等于先驗觀測誤差，則該坐標可能為真實待定點坐標，遍歷尋找出可以作為真實坐標最遠的點，該點與平差坐標之間的距離即為后方交會點位誤差極值。

為了便于介紹，此處還是以2點邊角后方交會為例。后方交會待定點真實坐標可能出現的位置見圖3最右側陰影區域，該區域為圖3中角度交會誤差區域與距離交會誤差區域的交集，圖中虛線交點為平差后待定點坐標。

通過C# 編程生成后方交會點位精度極值估算程序，程序算例見表1，表中“Mp3（mm）”列為通過該程序算出的交會點位誤差極值，點位誤差極值與其它方法點位精度估算值及真實偏差對比見圖2，由圖可知真實偏差均小于該程序計算出的交會誤差極值，當觀測數據相對誤差較大時，實際偏差會非常接近交會誤差極值。

4 結語

傳統的后方交會點位精度估算方法（即本文中的方法2）僅適合存在多余觀測量的后方交會，在觀測數據相對誤差較大時此方法亦不適用，而且對于純角度交會無法檢測出危險圓，導致估算精度錯誤。本文提出的后方交會誤差極值求法可以作為傳統后方交會點位精度估算方法的補充，該方法適用范圍廣泛，既適用于有多余觀測量的后方交會，亦適合無多余觀測量的后方交會，若角度后方交會中存在危險圓的情況，該方法估算精度值會提示超限，從而避免使用錯誤精度估算值。通過圖3還可以發現，Mp1線形與Mp3線形近似上下對稱，造成該現象的原因，有待進一步分析研究。

參考文獻

[1] 武漢測繪科技大學測量平差教研室.測量平差基礎[M].北京：測繪出版社，1996.

[2] 程效軍，繆盾.全站儀自由設站法精度探討[J].鐵道勘查，2008（06）.

[3] 何燕佑，許多文.關于全站儀自由設站原理及精度的探究[J].科技情報開發與經濟，2009（29）.

[4] 聞道秋.測邊和測角相結合的兩已知點后方交會[J].東北測繪，1998（02）.

[5] 楊守菊，徐常亮.全站儀自由設站的應用及精度分析[J].甘肅科技，2008（19）.

摘 要：文章采取數據模擬方法分析了最小二乘原理用于后方交會點位精度估算的準確性，發現其存在不適用的情況，為了確保后方交會點位精度滿足工程測量的需要，文章提出了一種后方交會點位誤差極值估算方法，該方法適用范圍廣泛，具有一定參考價值。

關鍵詞：后方交會；全站儀；精度估算；誤差區域；

控制網測量數據處理一般都會采用最小二乘原理進行平差及精度估算，對于后方交會的精度估算一些論文亦采用此種方法，然而本文通過分析研究發現最小二乘原理在全站儀后方交會精度估算中并不完全適用，某些情況下估算精度不能反應實際點位精度。下面本文將簡單介紹兩種基于最小二乘原理的點位精度估算方法，通過對比分析闡明這2種方法是否適用于后方交會點位精度估算，并提出一種利用計算機編程設計的后方交會點位精度極值的估算方法。

1 最小二乘原理平差過程及精度估算

首先按間接平差原理列出誤差方程：

v=Bx-L 1-1

其次確定權陣P，觀測值中含有角度和距離兩種不同性質的值，一般按下列方法定權：設全站儀測角精度為m0，測距固定誤差為ma，比例誤差為mb，取水平角的測角中誤差為單位權中誤差，則角度觀測值的權為，測邊觀測值的權為：

2 兩種后方交會精度估算方法對比分析

為了便于分析，本文將以2點邊角后方交會及精度較低的全站儀為例，用數據模擬法對公式1-6、1-7兩種精度估算數據與實際點位偏差進行對比分析。

如圖1所示，A、B兩點為已知控制點，坐標分別為（750.6026，2784.488）（680.375，2866.2249），P點為設站點，距離觀測值分別為SPA、SPB，方向觀測值分別為LPA、LPB。若P點理論坐標P0為（638.4239，2580.876），則理論距離觀測值S0PA = 232.4691 m，S0PB= 288.4161 m，設A點方向值L0PA = 0°00′10″，則理論B點方向觀測值L0PB = 20°29′29.5″。

現假設全站儀測角精度為5”，測距精度為5mm+5ppm，將理論觀測數據加上觀測誤差得到9組模擬觀測數據，見表1，表中觀測數據相對誤差是逐漸增大的，然后對數據進行平差處理，以平差后坐標P與理論坐標P0計算可得實際點位偏差Mp0，按公式1-6和1-7，分別計算得到估算點位精度Mp1、Mp2，估算點位精度與實際點位偏差對比見圖2。

通過表1及圖2可知，在觀測數據相對誤差不斷增大時，實際點位偏差亦不斷增大，方法1估算的精度值呈波浪式增漲，方法2估算精度值基本不變。方法1從第2組數據開始實際點位偏差大于估算精度值，最小差值3.9mm，最大差值21.8mm；方法2從第6組數據開始實際點位偏差大于估算精度值，最小差值2.2mm，最大差值9mm。由分析可知：通常的控制網點位精度估算方法（即方法1）并不適合后方交會點位精度評定；方法2在一般情況下可以作為后方交會點位精度評定方法，但當觀測數據相對誤差較大時，采用其估算數據亦需慎重。

3 后方交會點位誤差極值求法

當求出平差后的待定點坐標后，如果我們知道待定點真實坐標，則可以通過兩點間距離公式求出實際的點位誤差。本論文求后方交會點誤差極值的方法就是遍歷平差坐標周圍的點，假設其為真實坐標，然后聯合已知點反算出觀測數據（觀測距離、觀測角度），只要反算的觀測數據與實際觀測數據之差小于等于先驗觀測誤差，則該坐標可能為真實待定點坐標，遍歷尋找出可以作為真實坐標最遠的點，該點與平差坐標之間的距離即為后方交會點位誤差極值。

為了便于介紹，此處還是以2點邊角后方交會為例。后方交會待定點真實坐標可能出現的位置見圖3最右側陰影區域，該區域為圖3中角度交會誤差區域與距離交會誤差區域的交集，圖中虛線交點為平差后待定點坐標。

通過C# 編程生成后方交會點位精度極值估算程序，程序算例見表1，表中“Mp3（mm）”列為通過該程序算出的交會點位誤差極值，點位誤差極值與其它方法點位精度估算值及真實偏差對比見圖2，由圖可知真實偏差均小于該程序計算出的交會誤差極值，當觀測數據相對誤差較大時，實際偏差會非常接近交會誤差極值。

4 結語

傳統的后方交會點位精度估算方法（即本文中的方法2）僅適合存在多余觀測量的后方交會，在觀測數據相對誤差較大時此方法亦不適用，而且對于純角度交會無法檢測出危險圓，導致估算精度錯誤。本文提出的后方交會誤差極值求法可以作為傳統后方交會點位精度估算方法的補充，該方法適用范圍廣泛，既適用于有多余觀測量的后方交會，亦適合無多余觀測量的后方交會，若角度后方交會中存在危險圓的情況，該方法估算精度值會提示超限，從而避免使用錯誤精度估算值。通過圖3還可以發現，Mp1線形與Mp3線形近似上下對稱，造成該現象的原因，有待進一步分析研究。

參考文獻

[1] 武漢測繪科技大學測量平差教研室.測量平差基礎[M].北京：測繪出版社，1996.

[2] 程效軍，繆盾.全站儀自由設站法精度探討[J].鐵道勘查，2008（06）.

[3] 何燕佑，許多文.關于全站儀自由設站原理及精度的探究[J].科技情報開發與經濟，2009（29）.

[4] 聞道秋.測邊和測角相結合的兩已知點后方交會[J].東北測繪，1998（02）.

[5] 楊守菊，徐常亮.全站儀自由設站的應用及精度分析[J].甘肅科技，2008（19）.