談函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要： 本文闡述了函數(shù)思想與方程思想的概念、二者之間的相互轉(zhuǎn)換及在轉(zhuǎn)換時需要注意的一些問題。函數(shù)與方程都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是處理許多數(shù)學(xué)問題時經(jīng)常要用的基本思想方法。并且它也應(yīng)用在其他學(xué)科領(lǐng)域中。并結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提出教師應(yīng)該在教學(xué)中有意培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想。

關(guān)鍵詞： 函數(shù)思想；方程思想；應(yīng)用；培養(yǎng)

函數(shù)與方程是反映客觀事物數(shù)量變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，函數(shù)思想能使數(shù)學(xué)有效地揭示事物運動變化的規(guī)律，反映事物間的相互關(guān)系；而方程思想則是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，是已知量和未知量的矛盾統(tǒng)一。

一、函數(shù)與方程思想的概念以及相互轉(zhuǎn)化

1、函數(shù)與方程思想的概念。函數(shù)的思想方法就是對于客觀事物的運動變化過程中各個變量之間的相互關(guān)系，通過函數(shù)的形式表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想的實質(zhì)是提取問題的數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系的變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系。

方程的思想方法就是經(jīng)過數(shù)學(xué)變換，把非方程的問題轉(zhuǎn)化為方程的形式，并通過解方程的手段或?qū)Ψ匠逃嘘P(guān)性質(zhì)的研究，使原問題得到解決。從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

2、函數(shù)與方程思想的相互轉(zhuǎn)化。如果變量間的數(shù)量關(guān)系用解析式表示，則這個解析式又可以看作一個方程，通過解方程的方法進(jìn)行研究，使問題得到解決，這就是函數(shù)與方程的思想。很明顯，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備有標(biāo)新立異、獨樹一幟的深刻性、獨創(chuàng)性思維，才能構(gòu)造出函數(shù)原型，化歸為方程的問題，實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化接軌，達(dá)到解決問題的目的。

二、函數(shù)與方程思想在高考中的幾個典型應(yīng)用

許多方程問題常常可以運用函數(shù)思想去解決，而不少函數(shù)問題又往往需轉(zhuǎn)化為方程來求解，因此，在解決一些函數(shù)和方程問題時，既要善于運用函數(shù)思想解決方程問題，又要學(xué)會靈活運用方程的觀點去觀察、處理函數(shù)問題，函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用十分廣泛，函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)中的基本思想，也是歷年高考的重點和熱點。它在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，解有關(guān)求值、解方程、解（證）不等式以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，可以通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程，來解決問題。

1、利用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程問題。方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程y-f（x）=0。它們之間的這種關(guān)系為我們解決方程與函數(shù)問題提供了思路。一方面，對于有些方程問題，可以用變量的觀點，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)性質(zhì)來解決；另一方面，也可將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程性質(zhì)或通過解方程來解決。

2、利用函數(shù)與方程思想證明不等式。在解決不等式證明的問題時，一種非常重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題。由于函數(shù)與方程、不等式有著內(nèi)在的聯(lián)系，函數(shù)性質(zhì)的研究依賴于不等式及方程的有關(guān)知識，因此，處理不等式問題，可借助于函數(shù)與方程思想加以研究。借助于函數(shù)與方程思想證明不等式，方法靈活多樣，以二次函數(shù)為例，函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的解，函數(shù)圖像位于x軸上方的部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值就是不等式f（x）>0的解，它們之間的這種關(guān)系使得在解決實際問題時，可進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、化歸。

3、利用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題。數(shù)列本身就是特殊的函數(shù)，所以一些研究函數(shù)的方法，同樣適合于研究數(shù)列，但是要注意數(shù)列本身的特殊性。它可以看作是自變量依次取正整數(shù)，圖像為一群孤立點的函數(shù)。所以在解有關(guān)數(shù)列的問題時，應(yīng)注重將其與函數(shù)有關(guān)的知識結(jié)合在一起，注重函數(shù)與方程思想方法的運用與滲透。

4、利用函數(shù)與方程思想解決三角函數(shù)問題。在三角學(xué)習(xí)中，我們要善于根據(jù)問題的特征，合理地展開聯(lián)想，巧妙地實施轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)運用函數(shù)與方程思想解題的意識，使解題的水平得到大幅度的提高。“數(shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”，三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，高考主要在三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及結(jié)合三角變換求三角函數(shù)值等方面進(jìn)行考查。判斷函數(shù)單調(diào)性的問題，可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識進(jìn)行解答。

5、利用函數(shù)與方程思想解決解析幾何與立體幾何最值問題。解析幾何、立體幾何及實際應(yīng)用等問題中的最值問題，一般利用函數(shù)思想來解決，思路是先選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，再用函數(shù)的知識來解決。在解析幾何中，經(jīng)常利用待定系數(shù)法求直線或圓錐曲線的方程，通過建立a、b、c的方程來求圓錐曲線的離心率問題。直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。

綜上，函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一，函數(shù)與方程思想一直貫穿在中學(xué)整個教學(xué)過程中，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用涉及的知識點較多，是考查創(chuàng)新實踐能力的良好載體。歷年的高考試題中，每年都有一些設(shè)問新穎的函數(shù)與方程題目，而且占有相當(dāng)?shù)谋戎兀恍┏Ｒ姷慕忸}規(guī)律和方法在這里得到比較充分的體現(xiàn)。我們應(yīng)結(jié)合中學(xué)教學(xué)的實際多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的。

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