巧用發散思維解析幾何題

如圖5-19，已知CE、CB分別是△ABC和△ADC的中線，且AB=AC，求證：CD=2CE。

分析：用加倍法，為了證明CD=2CE，考慮CE是△ABC底邊AB上的中線，故把CE延長到F，使CF=2CE，把原來證CD=2CE轉化為證明CD=CF，如此把線段“倍半”的數量關系轉化為證兩條線段的相等關系。

證明：如圖5-20，延長CE至F，使EF=CE，連結BF，可證△EBF≌△EAC。

∴BF=AC=AB=BD；

又∠CBF=∠CBA+∠ABF=∠BCA+∠CAB=∠CBD，BC公用，

∴△CBF≌△CBD；（SAS）

∴CF=CD，即2CE=CD。

發散2：如圖5-21，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE，求證：AB=AC，AD=AE。

分析：本題利用等式相加減的性質進行角的相加減，將∠BAC=∠DAE轉化為∠BAD=∠CAE，達到將間接條件轉化為直接條件的目的。

證明：∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC（等量代換）

∴∠BAD=∠CAE（等式性質）；

在△BAD與△CAE中，

∵∠BAD=∠CAE（已證），BD=CE（已知），∠ABD=∠ACE（已知）

∴△BAD≌△CAE（AAS）。

輔導老師：盧金春