蛛網模型理論分析

摘 要 本文基于Lyapunov穩定性理論以及差分方程的求解，討論了蛛網模型的穩定性問題，結果表明，若滿足| | <| |，且 [ + 2 （）]<0時，蛛網模型是穩定的，此時商品的價格穩定在均衡價格，而當條件不滿足和其它情形時，蛛網模型不具有穩定性。

關鍵詞 蛛網模型 穩定 穩定性理論

中圖分類號：TP39 文獻標識碼：A

Theory Analysis of Cobweb Model

CHANG Juan； WANG Xiaodong； Mao Beixing

（Department of Mathematics and Physics， Zhengzhou Institute of Aeronautical

Industry Management， Zhengzhou， He'nan 450015）

Abstract The problem of stability analysis of cobweb model is studied in the paper ，based on Lyapunov stability theory and difference equation solving . The result prove that if it meet the following conditions：| | <| | and [ + 2 （）]<0， then the cobweb modle is stable.

Key words cobweb model； stable； stable theory

0 引言

目前關于蛛網模型的研究多數集中于對傳統蛛網模型的實際應用。例如，王楠等運用該模型分析農產品市場和大學生就業市場。魯曉旭運用傳統蛛網模型研究中國柑橘類產量與柑橘市場價格的自發波動趨勢，另一方面，時間的度量上的離散特點，使得社會經濟領域中的許多問題適宜于作為離散系統來處理，特別是，隨著計算機的發展，大量連續時間系統由于采用數字計算機來進行分析和控制的需要，而通過離散化而化為離散時間系統來處理，離散時間系統的重要性變得越來越突出，而穩定性是系統的一個基本結構特性，穩定性問題是系統理論研究的一個重要課題，對大多數情形，穩定是控制系統能夠正常運行的前提條件，而關于蛛網模型理論性分析方面的文獻并不多見，本文基于Lyapunov穩定性理論以及差分方程的求解，討論了蛛網模型的穩定性問題，結果表明，若滿足∣∣<∣∣，且 [ + 2 （）]<0時，蛛網模型是穩定的，此時商品的價格穩定在均衡價格，而當條件不滿足和其它情形時，蛛網模型不具有穩定性。

1 蛛網模型理論分析

系統描述如下：

（1）

其中，， ， ， 均為常數，（）表示需求量，（）表示供給量，（）表示時期的價格，（）表示時期的價格，表示價格為零時的商品需求量，表示價格商品需求價格的變化率，表示價格為零時的商品供給量，表示價格商品的供給價格變化率。（1）等價于（） = + （），該式為一階差分方程，當≠時，上述方程的通解為：（） = [（0）]，其中（0）是產品投放市場 = 0時的價格，如果∣∣<∣∣，則可以得到 （） = = ，此時（）的極限值為均衡價格，當∣∣>∣∣時，（）不存在，并且趨于無窮大，這就意味著價格對產量的影響越來越強，價格與產量都遠離均衡點。如果 = ，可以得到（） = [ + 1] + （0），此時的極限不存在。當 = 時，差分方程的通解為（） = + （0），此時當時，（）的極限也不存在。

定理1：若滿足∣∣<∣∣，且 [ + 2 （）]<0時，蛛網模型是穩定的。

證明：根據前面理論分析，只有∣∣<∣∣時系統才可能具有穩定性，構造Lyapunov函數（） = （），則其一階差分為：

（） = （ + 1）（）

= [ + （）]2（）

= （）2 + 2·（） + [（）2]（）

<（）2 + 2·（）

= [ + 2 （）]<0

2 結論

本文基于Lyapunov穩定性理論以及差分方程的求解，討論了蛛網模型的穩定性問題，結果表明，若滿足∣∣<∣∣，且 [ + 2 （）]<0時，蛛網模型是穩定的，此時商品的價格穩定在均衡價格，而當條件不滿足和其（下轉第46頁）（上接第31頁）它情形時，蛛網模型不具有穩定性。

基金項目：航空基金（2013ZD55006）；河南省教育廳科學技術重點項目（14A110027）

參考文獻

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