巧妙轉(zhuǎn)化，求解線段和的最小值

【摘 要】 最值問題是初中階段常見的一類題型.中考也在不斷地變換形式考查這一問題的應(yīng)用.最常見的一類就是利用“兩邊之和大于第三邊”求解兩條線段和的最小值.不論是與三角形、四邊形結(jié)合，還是與圓結(jié)合，萬變不離其宗，都是需要合理轉(zhuǎn)化.本文就求解三條線段和的最小值來展開，利用不同的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而從根本上解決這類問題.

【關(guān)鍵詞】 線段；等面積；全等；相似；最小值

初中階段的線段最值問題主要是以“兩點之間，線段最短”為理論依據(jù)的.同時在實際運用過程中也經(jīng)常用到“三角形兩邊之和大于第三邊”“三角形兩邊之差小于第三邊”.有時候還會結(jié)合“點到線段垂線段最短”的結(jié)論.但是遇到求三條線段和的最小值，并且三條線段并未相連的時候，我們則需要對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，那么都有哪些方法可以轉(zhuǎn)化呢？來看下面的例題：

例 如圖1，正方形ABCD邊長為6，P為BC上的動點，分別過點B，C，D作射線AP的垂線，求BG + CF + DE的最小值.

分析 該題目和以往遇到的求線段和最小值有所不同，想把三條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上不是那么容易，所以需要重新審查題目條件，尋找可以有效轉(zhuǎn)化的辦法.這時候我們注意到三條線段有共性：都和AP垂直，那么是不是可以將它們作為三角形的高，從而利用等面積法來轉(zhuǎn)化呢？

方法1 連接DP，AC，由圖2可知，

S正方形ABCD = S△ADP + S△ABP + S△PDC.

∵ S△PDC = S△APC（同底等高的兩個三角形），

∴ S正方形ABCD = S△ADP + S△ABP + S△APC.

即36 = ■AP（DE + BG + CF），從而DE + BG + CF = ■.

要使DE + BG + CF最小，則AP應(yīng)該最大.當(dāng)點P運動至點C處時，AP最大為6■，此時DE + BG + CF = 6■.其實我們還可以得到6 ≤ AP ≤ 6■ .

除了利用等面積的方法，我們還可以考慮將題目中的三條線段進(jìn)行等量代換，從而解決問題.下面我們用全等的方法來解答這個題目.

方法2 構(gòu)造趙爽弦圖.如圖3，過點C作CN⊥DE交DE于點N，延長BG交CN于點Q，可知四邊形NEFC為矩形，CF = NE.

容易證明△DAE，△ABG，△BCQ，△CND均全等（AAS）.

不妨設(shè)AE = x，DE = y，那么AE = BG = CQ = DN = x，CF= NE = DE - DN = y - x，∴ DE + BG + CF = y + x + y - x = 2y.

若DE + BG + CF最小，則要求y最小.當(dāng)點P運動至點C時y最小，為正方形ABCD對角線的一半，y = 3■.

∴ DE + BG + CF的最小值為6■.

方法3 如圖4，不妨作DH⊥FC，交FC的延長線于點H.

可知四邊形DEFH為矩形.

容易證明△DAE ≌ △DCH（AAS）.

∴ DE = DH，AE = CH.

∴四邊形DEFH為正方形，DH = FH = ■DF.

由△DAE ≌ △ABG（AAS），可得AE = BG.

等量代換可得BG = CH，從而DE + BG + CF = DH + CH + CF = DH + FH = ■DF，

∴當(dāng)DF最小時，DE + BG + CF最小.

當(dāng)點P運動到點C的時候DE值最小，為3■.

∴ DF的最小值為■DE = 6，∴ DE + BG + CF的最小值為■DF = 6■.

上面的方法利用三角形全等以及等量代換，將所求線段合理轉(zhuǎn)化，從而求出了線段和的最小值.回頭再看題目條件，三條線段均和AP垂直，這樣很容易能使我們聯(lián)想到相似，那么利用三角形相似能不能解答這個題目呢？其中都有哪些相似的三角形呢？

方法4 如圖5，容易證明△DAE ∽ △BPG ∽ △CPF，因此■ = ■ = ■.根據(jù)等比性質(zhì)，可得■ = ■，

∴ DE + BG + CF = 2DE.

而DE的最小值為3■，

∴ DE + BG + CF的最小值為6■.

通過這個例題，我們發(fā)現(xiàn)其實這類試題都是與特殊圖形相結(jié)合，考查學(xué)生對基本幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系的認(rèn)識，注重讓學(xué)生在解題過程中感受轉(zhuǎn)換、推理的探索過程，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)散思維，將所學(xué)知識進(jìn)行合理演繹.

例如在這道例題中，我們發(fā)現(xiàn)三條線段無法利用結(jié)論“兩點之間，線段最短”來解決，就必須考慮線段轉(zhuǎn)化來解決這個問題.那么如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化就需要我們根據(jù)已知條件來合理選擇.出現(xiàn)垂直的時候我們一般要考慮等面積的方法、相似的方法以及傳統(tǒng)的全等方法來進(jìn)行等量代換.以后再遇到類似的題目，需要在思考的同時從不同的角度尋找突破點，合理轉(zhuǎn)化，解決問題.