一則數學故事的質疑與探究

北京師范大學出版社出版的義務教育課程標準實驗教科書六年級《數學》上冊中，在“比的應用”一節給出了阿凡提分馬的故事. 該故事是：

一位老人有11匹馬，臨終前，對三個兒子說，老大、老二、老三分別繼承我11匹馬的■，■和■. 老人過世后，兄弟三人怎么也不能把這11匹馬分得整數匹. 正在三兄弟犯愁時，阿凡提牽著自己的1匹馬走了過來，對三兄弟說：“加上我這匹馬，你們就知道怎么分了.”于是三兄弟按12匹馬來分，老大分了12匹馬的■，分得了6匹馬；老二分得了12匹馬的■，分得了3匹馬；老三分得了12匹馬的■，分得了2匹馬，6 + 3 + 2剛好為11匹馬. 三兄弟把11匹馬整匹分了后，歸還了阿凡提的1匹馬.

筆者認為，這道題選編在“比的應用”一節有些勉強.

一、質 疑

上面的解法說明，若按求一個數的幾分之幾是多少直接求算，三兄弟不能分得整數匹馬，加入阿凡提的一匹馬后再用同樣的方法求算，剛好整匹分之，且阿凡提的馬不會被分之. 即加入一匹馬后三兄弟分之，可以湊得每人分整數匹馬.

這道題作為名題流傳至今，是由于阿凡提的一匹馬起了“鋪墊”作用，“參分而未分”.

以上兩點給人們的印象，似乎阿凡提的分法是巧妙的. 如果我們引導學生用質疑的眼光看待阿凡提的分法，會發現有下列幾點不能自圓其說.

（1）11匹馬改為12匹馬，理由是什么. 假設上例問題中的馬不是11匹，而是12匹或13匹，又該如何求算？

（2）對結果的檢驗不合理，缺乏邏輯性. 檢驗應該按問題的類屬檢驗，而不只進行簡單的加和驗算. 既然把問題按“求一個數的幾分之幾是多少”來處理，就應看11的■，■，■是否等于分得的結果6，3，2，顯然不等，而不能僅僅看6 + 3 + 2等于11.

（3）解題時按“求一個數的幾分之幾是多少” 求算，怎么會得到11的■，■，■分別為6，3，2呢？這一點往往令學生費解，學生提出質疑，老師未必能三言兩語釋其所以然來.

（4）能否將每匹馬按市場價計算，若分不得整數匹馬，采用找補差價的辦法以求得整數匹馬？

二、探 究

筆者認為，這類問題應化為“按比例分配”問題，不應放在“比的應用”一節，或不應化為“求一個數的幾分之幾是多少”類問題來研究. 就是說，上題中的■，■，■是指三兄弟分得的馬匹數之比，即不論三兄弟各自分得多少，也不論各自是否能分得整數匹馬，三兄弟分得的馬匹數應符合■ ∶ ■ ∶ ■，這樣的理解學生容易接受.

求解如下：

■ ∶ ■ ∶ ■ = 6 ∶ 3 ∶ 2，6 + 3 + 2 = 11.

老大分得：11 × ■ = 6（匹）；老二分得：11 × ■ = 3（匹）；老三分得：11 × ■ = 2（匹）.

經驗算，答案是合理的.

把問題歸屬為“按比例分配”問題，具有以下方便之處.

（1）不論各分數之和大于1、等于1或小于1，其解法是一致的，即解法具有廣泛性. （2）不需改變標準量（如上題的11匹即為標準量）. （3）避免自相矛盾，能合理解釋答案. （4）如果用“按比例分配”法不能求得整數結果，那么用“阿凡提法”——改變標準量的方法肯定也得不到整數結果.

例1 一牧民欲把17匹馬分給甲、乙、丙三人，分給甲一半，分給乙三分之一，分給丙九分之一. 問：甲、乙、丙各分得幾匹馬？

解 雖然■+ ■ + ■ = ■ < 1，不需改變標準量可解之：■ ∶ ■ ∶ ■ = 9 ∶ 6 ∶ 2，9 + 6 + 2 = 17，

則甲分得：17 × ■ = 9（匹），乙分得：17 × ■ = 6（匹），丙分得：17 × ■ = 2（匹）.

模仿“阿凡提法”，加1匹馬，按18匹馬分：

甲分得：18 × ■ = 9（匹）；乙分得：18 × ■ = 6（匹）；丙分得：18 × ■ = 2（匹）.

例2 把13個蘋果分給三位小朋友，笑笑分■，小軍分■，淘氣分■，每位小朋友各分得多少蘋果？

解 ■ + ■ + ■ = ■ > 1，不需改變標準量，用“按比例分配”法解之：

■ ∶ ■ ∶ ■ = 6 ∶ 4 ∶ 3，6 + 4 + 3 = 13.

很明顯，笑笑分得6個、小軍分得4個、淘氣分得3個蘋果. 或計算如下：

笑笑分得：13 × ■ = 6（個）；小軍分得：13 × ■ = 4（個）；淘氣分得：13 × ■ = 3（個）.

若模仿阿凡提的解法，這時不用“加1”，而用“減1”法來改變標準量. 從13個蘋果中取走1個，按12個蘋果分配：

12 × ■ = 6（個），12 × ■ = 4（個），12 × ■ = 3（個）.

為什么“減1”？是為了分得整數，且湊得6 + 4 + 3 = 13.