化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探析

【摘要】 本文從化多元為一元、化整體為部分和化函數(shù)為方程等三個(gè)方面，對(duì)化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了闡述說(shuō)明，以期為培養(yǎng)學(xué)生利用化歸思想解決實(shí)際問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】 化歸思想；初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用途徑

數(shù)學(xué)學(xué)科的概念深?yuàn)W且難于理解，而且數(shù)學(xué)公式繁多，不利于學(xué)生記憶和掌握，而數(shù)學(xué)思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效途徑，因此教師在課堂教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.

1. 化多元為一元

初中學(xué)生在遇到多元問(wèn)題的時(shí)候，總是感覺(jué)毫無(wú)頭緒，不知從何入手，例如方程或者方程組中含有多個(gè)未知數(shù)的問(wèn)題. 如果學(xué)生掌握了化歸思想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)利用未知數(shù)之間關(guān)系將多個(gè)未知數(shù)轉(zhuǎn)化為同一個(gè)未知數(shù)，題目就會(huì)簡(jiǎn)化許多，問(wèn)題也會(huì)迎刃而解.

例1 如果■ = -■ = ■，則■ = _________.

思路分析 對(duì)于含有多個(gè)未知數(shù)的題目，盡可能地減少未知數(shù)的數(shù)量為解題的關(guān)鍵，常用方法為加減消元與代入消元. 本題中可以采用引入未知量k，表面上雖然增加了未知數(shù)，但是利用未知數(shù)之間的關(guān)系，可以順利地達(dá)到消元的目的.

解 設(shè)■ = -■ = ■ = k，則x = 3k，y = -4k，z = 7k，代入原式可得

■ = ■

= ■ = -3.

總結(jié) 以新引入的未知數(shù)消去題目中的多個(gè)未知數(shù)，從而達(dá)到將多元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題的方法，可以有效簡(jiǎn)化題目的復(fù)雜形式，順利找到問(wèn)題的答案，此方法為化歸思想中解決多元問(wèn)題的常用方法.

2. 化整體為部分

當(dāng)數(shù)學(xué)題目的形式過(guò)于煩瑣復(fù)雜且整體性較強(qiáng)的時(shí)候，初中學(xué)生很難從中發(fā)現(xiàn)其隱含的關(guān)系，而利用化歸思想中化整體為部分的解題策略，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目中整體和部分之間的關(guān)系，從而將其轉(zhuǎn)化為自己熟悉的題目，順利地找到解題的思路.

例2 解方程■ + ■ + ■ + … + ■ = 1.

思路分析 ①題目中的項(xiàng)數(shù)有100項(xiàng)，這實(shí)際上是告訴學(xué)生以常規(guī)的思路去分析題目是行不通的，題目必然有簡(jiǎn)單的解法；②仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)，分母中的后一項(xiàng)都比前一項(xiàng)多1，而每一項(xiàng)都可以拆成兩項(xiàng)，兩項(xiàng)的差值正好與其相等，如■ = ■ - ■.

解 原式 = ■ - ■ + ■ - ■ + … + ■ - ■.

則由題可知■ - ■ = 1.

化簡(jiǎn)整理得x2 + 100x - 100 = 0.

解之，得x = ±10■ - 50.

經(jīng)檢驗(yàn)，x為原方程的解.

總結(jié) ① 題目中的拆項(xiàng)看似將題目變得更為復(fù)雜化，實(shí)則可以通過(guò)消項(xiàng)簡(jiǎn)化題目；② 如果題目中每一項(xiàng)的分母之差為k，則只需在原式前面提取■，如■=■■ - ■，后面找準(zhǔn)相消的對(duì)應(yīng)項(xiàng)即可；③分式方程要注意驗(yàn)根，以確定最終結(jié)果的正確性.

3. 化函數(shù)為方程

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，也是初中學(xué)生在學(xué)習(xí)和解題中經(jīng)常出現(xiàn)問(wèn)題的地方. 借助于化歸思想，教師可以將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解和熟悉的問(wèn)題，從而為學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題提供有效的思路，例如，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題.

例3 已知關(guān)于x的函數(shù)y = （m + 6）x2 + 2（m - 1）x + （m + 1）的圖像與x軸始終有交點(diǎn)，求m的取值范圍.

思路分析 題目涉及函數(shù)圖像的問(wèn)題，如果學(xué)生從函數(shù)的角度進(jìn)行分析，則需要畫(huà)出函數(shù)圖像，但是由于題目中存在未知數(shù)，使得函數(shù)圖像無(wú)法確定. 如果從方程的角度進(jìn)行分析，思路則會(huì)豁然開(kāi)朗：已知關(guān)于x的方程y = （m + 6）x2 + 2（m - 1）x + （m + 1）始終有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍.

解 ①當(dāng)m + 6 = 0時(shí)，即m = -6，方程轉(zhuǎn)化為-14x = 5，方程為一元一次方程，存在實(shí)數(shù)根，即函數(shù)圖像與x軸存在交點(diǎn).

②當(dāng)m + 6 ≠ 0時(shí)，方程為一元二次方程，

∴ Δ = 4（m - 1）2 - 4（m + 6）（m + 1）

= 4（-9m - 5） ≥ 0，

即m ≤ -■.

∴ m的取值范圍為m ≤ -■.

總結(jié) ① 函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題的時(shí)候，要注意保持其意思的相互一致，不能出現(xiàn)題目理解上的偏差；② 如果方程系數(shù)中含有未知數(shù)，注意分類討論，保持解題過(guò)程的完整性，如題目中的m + 6 = 0和m + 6 ≠ 0.

4. 結(jié)束語(yǔ)

總之，初中數(shù)學(xué)涉及較多的概念和公式，對(duì)于初中學(xué)生而言，如果沒(méi)有好的學(xué)習(xí)方法，很難做到完全理解和掌握. 因此，初中教師在教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，尤其是化歸思想，從而在幫助學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維去解決實(shí)際問(wèn)題習(xí)慣的同時(shí)，使學(xué)生可以將數(shù)學(xué)知識(shí)形成系統(tǒng)，進(jìn)而提高學(xué)生的理解能力和解題能力.