數學解題中的一把金鑰匙——整體思想

一、整體代入

有些問題，如果孤立地利用條件，問題雖然可以得到解決，但解題過程比較復雜，如果把一些組合式子看成一個“整體”，并把它直接代入另一式，以避免局部運算的麻煩和困難，這就是整體代入.

例1 當x = 1時，代數式px3 + qx + 1的值是2014，則當x = -1時，代數式px3 + qx + 1的值是 .

分析 對于此題，若想分別求p和q的值，這是不必要的，也不可能. 由題設得p + q + 1 = 2014，如果我們視p + q為一個整體，則有p + q = 2013，于是，當x = -1時，有px3 + qx + 1 = -p - q + 1 = 1 - （p + q） = 1 - 2013 = -2012.

二、整體換元

整體換元是用新的元去代替已知或已知式的某一部分，從而達到化繁為簡、化難為易的目的.

例2 解方程■2 + 5■ + 6 = 0.

分析 如果先將括號展開，題目就難解了. 根據方程的結構特征，把■看作整體y，則原方程轉化為y2 + 5y + 6 = 0，解得y1 = -3，y2 = -2，當y1 = -3時，■ = -3，解得x1 = -■；當y2 = -2時，■ = -2，解得x2 = -■. 經檢驗x1 = -■，x2 = -■均為原方程的根.

三、整體構造

整體構造就是根據已知條件和所求，整體構造相應的式子，通過對兩個式子的聯合研究來解決問題.

例3 已知a，b為兩個不相等的實數，且滿足a2 = 1 - 2a，b2 = 1 - 2b，求■ + ■的值.

分析 根據常規，習慣于先求出a，b，這需分四種情況討論，運算較繁，且容易出錯. 若能整體把握■ + ■ = ■ = ■，只需求出a + b與ab，易聯想到根與系數的關系. 本題可構造出以a，b為兩實數根的一元二次方程x2 + 2x - 1 = 0，∴ a + b = -2，ab = -1，■ + ■ = ■ = -6.

四、整體求解

整體求解是將問題中的某些局部計算作整體求解，從而達到簡化問題和減少計算量的目的.

例4 有大、小兩種貨車，2輛大車和3輛小車一次可以運貨15.5噸，5輛大車與6輛小車一次可以運貨35噸，求3輛大車與5輛小車一次可以運貨多少噸？

分析 設一輛大車與一輛小車一次可以各運貨 x 噸、y噸，則有2x + 3y = 15.5…①，5x + 6y = 35…②， 然后用常規方法解得x 與y 的值，再代入下一步作答，非常煩瑣. 簡便解法： 由題意，可得2x + 3y = 15.5…①，5x + 6y = 35…②，①×7 - ②，得9x + 15y = 73.5，從而就有3x + 5y = 24.5.

五、整體補形

整體補形是從圖形的整體性角度出發，將問題中不完整的圖形補為完整的圖形，從而利用圖形的整體性質使問題巧妙獲解. 從整體補形的角度去思考問題，巧妙添加輔助線，從而導致解題方向明朗化.

例5 如圖1，AB = 4，DB⊥AB，EA⊥AB，DB = 3，EA = 6，又點M是DE的中點，求BM的長.

分析 由已知條件可以聯想到平行四邊形，故延長DB到F，使DF = EA = 6，連接EF，AD，由AE⊥AB，DB⊥AB，得AE∥DB，∴四邊形ADFE為平行四邊形. 在Rt△ABD中，AD = ■ = 5. ∴ EF = AD = 5. 由中位線定理得BM = ■EF = ■ .

六、化零為整

化零為整就是化部分為整體，避免分散計算. 在很多幾何題中，如果把所求部分進行單個計算，有時不能使問題獲解，只有把所有部分看作一個整體進行合理轉化，才能得出結論.

例6 如圖2，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交且半徑都為0.5厘米，則圖中陰影部分的面積為________.

分析 由于各個扇形的圓心角的度數均未知，從而不能分別求各個扇形的面積. 為此，將三個陰影部分整體考慮，注意到三角形內角和為180°，所以三個扇形的圓心角的和為180°，又因為各個扇形的半徑相等，所以陰影部分的面積為半徑為0.5厘米的圓的面積的一半，即■ × π × 0.52 = ■（平方厘米）.

七、 應用題中的整體思想

我們在研究有關應用題時，如果能從大處著眼，從整體入手，往往可化繁為簡，思路明晰.

例7 甲、乙兩人從相距100千米的兩地同時出發，相向而行，甲每小時走6千米，乙每小時走4千米，甲帶了一只小狗，狗每小時跑10千米，小狗隨甲同時出發，向乙跑去；當它遇到乙后，就立即回頭向甲跑去；遇到甲后，就立即回頭向乙跑去，直到甲、乙兩人相遇狗才停住. 求這條狗一共跑了多少路.

分析 本題如按常規解法，考慮“狗”的行程，不僅圖無法畫出，且容易導致思路曲折復雜，無從下手.如果我們借助“整體思想”則輕而易舉：要求狗的行程，已知狗的速度，只需知道狗奔跑的時間；而這時間也恰是甲、乙二人走完全程所用的時間，而求甲、乙二人走完全程所用的時間則變成一個相當簡單的相遇問題. 如果設甲、乙兩人從出發到相遇所用時間為x小時，根據題意列方程：6x + 4x = 100，解之得x = 10 ，因此狗以10千米/時的速度跑了10小時，則它一共跑了10 × 10 = 100（千米）.

當然，整體思想在數學解題中的應用還涉及其他的各種題型. 有了整體思想的意識，從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養學生思維的靈活性、敏捷性. 靈活恰當地運用整體思想，往往能幫我們走出困境，走向成功.