例談分式方程的增根、無解和有解問題

【摘要】 分式方程的增根、無解和有解是分式方程中常見的三個概念，學生在學習分式方程后，常常會對這三個概念混淆不清，認為分式方程有增根就是分式方程無解或者分式方程沒有增根就是分式方程有解，然而事實上并非如此.

【關鍵詞】 分式方程；整式方程；增根；無解；有解

分式方程有增根指的是解分式方程時，在把分式方程轉化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數的取值范圍而產生的未知數的值. 分式方程無解則是指不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等，它包含兩種情形：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解. 分式方程有解則是指存在未知數的值能使方程兩邊的值相等. 總之，分式方程有沒有增根跟分式方程有無解沒有必定的關系. 現舉例說明：

例1 解方程■ - ■ + ■ = 0.

解 原分式方程兩邊都乘x（x - 1），

得整式方程5x - （x + 4） + 2（x - 1） = 0，

解這個整式方程，得x = 1.

經檢驗，當x = 1時，x（x - 1） = 0，所以x = 1是原方程的增根.

所以原方程無解.

點評 顯然原分式方程中未知數x必須滿足x ≠ 0且x ≠ 1，而轉化成相應整式方程中未知數x可以取全體實數，所以當求得整式方程的解x恰好使原分式方程的最簡公分母為零時，x的值就是原方程的增根. 故本例題中，x = 1是原方程的增根，原方程無解.

例2 （2001年重慶市）若關于x的方程 ■ - 1 = 0有增根，則a的值為 .

解 原分式方程兩邊都乘以（x - 1），得整式方程（a - 1）x + 2 = 0. 因為原分式方程有增根，且增根只能是x = 1，所以x = 1是相應的整式方程的解，所以把x = 1代入整式方程，得a = -1. 所以當a = -1時原分式方程有增根.

點評 分式方程有增根，跟分式方程有解或無解沒有必然關系，有增根只是說明分式方程轉化成相應的整式方程必須有解，且存在某個（或幾個）解代入分式方程的公分母等于零，即不是原分式方程的解，則成為原方程的增根. 換言之，增根指的未知數的值是分式方程轉化相應整式方程的解，但不是原分式方程的解.

例3 （2002年孝感市）當m為何值時，關于x的方程■ - ■ = 1 + ■無解.

解 原分式方程兩邊乘x（x - 1），得整式方程x2 - x + 2 - m = 0.

若要使原分式方程無解，有下面兩種情況：

① 相應的整式方程無解，即x2 - x + 2 - m = 0無解. 故Δ = （-1）2 - 4（2 - m） < 0，得m < ■；

② 相應的整式方程有解且均為原分式方程的增根時，原分式方程無解，而原分式方程的增根只能為x = 0或x = 1，把x = 0或x = 1分別代入整式方程得m = 2.

綜上所述：當m < ■或m = 2時，所給方程無解.

點評 分式方程無解，可能有兩種情況，一種是轉化成的整式方程無解，則原分式方程必然無解；另一種是轉化成的整式方程有解但代入分式方程不成立，即分式方程無解. 換言之，分式方程無解，相應的整式方程也無解或者即使有解那也只能是增根. 所以增根并不是分式方程無解的唯一原因，分式方程無解跟分式方程是否存在增根沒有必然的關系. 例4 （2003年南昌市）已知關于x的方程■ - ■ = m有解，求m的取值范圍.

解 原分式方程兩邊乘x（x - 1），得整式方程mx2 - x + 1 = 0.

若要使原分式方程有解，只要相應整式方程有解且至少有一個解是原分式方程的解，即至少有一個解不是原分式方程的增根即可.

① 當m = 0時，相應的整式方程的解為x = 1，顯然x = 1是原分式方程的增根，即不是原分式方程的解，所以m = 0應舍去.

② 當m ≠ 0時，相應的整式方程要有解，則Δ = 1 - 4m ≥ 0，即m ≤ ■.

由于原分式方程的增根只可能為x = 0或x = 1，當x = 0時，相應的整式方程不成立；當x = 1時，m = 0.

綜上所述：當m ≤ ■且m ≠ 0時，原分式方程有解.

點評 分式方程有解，則轉化成相應的整式方程必須有解且存在滿足分式方程成立的非增根. 所以分式方程有解跟分式方程是否存在增根沒有必然的關系.

解分式方程的一般步驟是：把方程的兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化成整式方程；若未知數的值是相應整式方程的解但代入原分式方程不成立，則該值是原分式方程的增根；分式方程無解包括兩種情況：一是相應的整式方程無解，二是整式方程有解但對原分式方程來說也只是增根，即分式方程無解跟是否存在增根沒有必然的關系；分式方程有解則相應的整式方程必須有解，且必須存在某些根代入分式方程成立，而是否存在增根沒有必然的關系.

弄清分式方程的增根、無解和有解的區別和聯系，能幫助我們提高解分式方程的正確性，對判斷分式方程解的情況有一定的指導意義.