例談拋物線對稱性的應用

【摘要】 在初中階段所研究的函數中，函數的圖像和性質是最重要的內容，也是最常考的內容. 在拋物線的學習過程中，拋物線的對稱性是它的一個顯著特征，對稱性的考查和利用也是比較靈活的. 本文將以一些典型的例題來談談拋物線對稱性該如何運用.

【關鍵詞】 初中數學；拋物線；函數的性質；知識運用能力

首先我們來回顧什么是拋物線，二次函數y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的圖像就是一條拋物線. 拋物線的對稱軸可以用直線x = -■表示，當二次函數的形式為y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）時，拋物線的對稱軸為直線x = h. 在解有關函數的問題時，我們常常會用數形結合的方法，數形結合能更快地理清思路，運用好已知條件. 下面我們通過幾個例子來談談關于拋物線對稱性的一些考點和用法.

一、求點的坐標

例1 若函數y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）經過點A（-2，7），B（6，7），C（3，-8），那么拋物線上縱坐標為-8的另一點的坐標為______.

分析 一看到是求點的坐標，很多學生就會想到要先求拋物線的解析式，再把所求點的縱坐標代入到解析式中，就可以求出該點的橫坐標. 而要求拋物線的解析式也是可以的，因為已知條件中給出了三個點的坐標，把三個點的坐標代入到函數的一般式中，通過解方程組可得出拋物線的解析式. 這種方法是一種傳統的方法，也是很多學生會用到的，但其實這道題還有更加簡便的方法，省去了煩瑣的計算，也能快速地得出答案，關鍵就是要細心觀察已知中給出的三個點的坐標. 可以看到A（-2，7），B（6，7）兩點的縱坐標是相等的，說明這是兩個點于關拋物線的對稱軸對稱，那么就可以直接利用拋物線的對稱性快速解題.

解析 由題意得，拋物線的對稱軸x = ■ = 2，所求點與點C對稱，2 × 2 - 3 = 1，所求點的坐標為（1，-8）.

二、求代數式的值

例2 拋物線y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的對稱軸是x = 2，且經過點P（3，0），那么a + b + c的值是（ ）.

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

分析 在這道題中，要求的是代數式a + b + c的值，這類題目我們也會經常接觸到，a + b + c的值就是當x = 1時，函數y的值. 仔細觀察就可以看到，我們不用求出每個字母的值，充分利用好對稱軸這個已知條件，就能巧妙地解決問題.

解析 因為拋物線的對稱軸是x = 2，2 × 2 - 3 = 1，也就是與點P對稱的點是（1，0），正好是我們所要求的當x = 1時函數的值. 所以a + b + c的值為0. 答案選B.

三、比較函數值的大小

例3 如果A-■，y1，B-■，y2，C-■，y3為函數y = x2 + 4x - 5的圖像上三點，那么y1，y2，y3的大小關系是（ ）.

A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y1 < y2

C. y2 < y1 < y3 D. y1 < y3 < y2

分析 這道題可以直接代入計算，但這樣的話會帶來非常大的計算量，是不可取的一種方法. 比較函數值的大小可以利用函數的單調性進行比較，但拋物線的單調性并不是單一的，而是有增有減，因此在使用的時候不僅要先搞清函數的單調性，還要明確點的位置關系以及和對稱軸的水平距離.

解析 根據題意可得，拋物線的開口向上，函數的對稱軸為x = -■ = -2，當x > -2時，y的值隨著x的增大而增大，所求點的橫坐標均大于-2，因為-■ < -■ < -■，所以y2 < y1 < y3. 答案選C.

四、求函數的解析式

例4 已知二次函數的圖像經過點A（2，-3），對稱軸為x = 1，且與x軸的兩個交點之間的距離為4，求這個二次函數的解析式.

分析 這是一道求函數解析式的題目，而我們首先會想到的就是根據已知條件來設函數為哪種形式，運用常規的方法都能求解，但會產生一個非常復雜的三元方程，而巧用函數的對稱性，能輕松地解決這些問題，化難為易，化繁為簡.

解析 由拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的兩個交點的坐標分別為（-1，0）和（3，0），于是可以把函數設為兩點式y = a（x + 1）（x - 3），將A點坐標代入得-3 = -3a，a = 1，即所求函數為y = （x + 1）（x - 3），整理，得y = x2 - 2x - 3.

函數的對稱性是二次函數圖像的一個重要特征，常常可以巧妙地運用于解決問題當中. 從上面的幾個例題就不難發現，很多題目都可以用常規的方法來解決，但計算會很煩瑣，過程比較復雜，而能巧妙地運用對稱性的話，問題都能快速解決，并且解題過程得到了有效的簡化. 因此，在解題時，一定要先細心觀察和認真思考，抓住題目中的一些關鍵信息，用最簡便的方法來解答.

【參考文獻】

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