特色試題面面觀

在數學浩瀚的題海里，總能遇到這樣一類問題：條件充裕，結論清楚，就是找不到條件和結論之間的聯系，繼而無法尋求解決問題的突破口. 作為選拔優秀人才的中考壓軸題，更加強了學生能力的考查.下面筆者以實例說明如何巧用構造法，構造基本圖形，建立條件和結論之間的聯系，從而解決問題.

一、構造平面直角坐標系

例1 2013年淮安中考題28題：如圖1，在△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5. 點P從點B出發，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發，以每秒2個單位沿C→A→B的方向運動，到達點B后立即原速返回，若P，Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設運動時間為t.

（1）當t = 時，點P與點Q相遇；

（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當t為何值時，△PCQ為等腰三角形？

（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設△PCQ的面積為S平方單位.

①求S與t之間的函數關系式；

②當S最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積.

分析 在解決第（3）小題第②問的過程中，求重疊部分的面積，就必須求得高GF的長度，筆者走訪了初二學生，他們普遍認為圖中使用兩次甚至三次相似，難度還是很大的. 如果構造平面直角坐標系，將幾何圖形放在坐標系中，求重疊部分的面積，要比使用相似簡潔得多. 解題過程如下：

解 建立如圖2所示平面直角坐標系.

由①知，當t = 5時，S有最大值，此時，P是AC的中點， AQ = 14 - 2t = 14 - 2 × 5 = 4.

∵ 沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，∴ PD一定是AC的中垂線.

∴ AP = CP = ■AC = 2，PD = ■BC = ■.

在△AQE中，tan∠A = ■，sin∠A = ■，而tan∠A = ■，sin∠A = ■，∴ AE = ■，QE = ■.

則PE = AE - AP = ■ - 2 = ■.

則易得C（-2，0），D0，■，P（0，0），Q-■，■，可知yCD = ■x + ■，yPQ = -2x.

由yCD = ■x + ■，yPQ = -2x，可得交點G的縱坐標為y = ■，即GF = ■.

到此，不難求得重疊部分面積S△GPC = ■·PC·GF = ■ × 2 × ■ = ■.

反思 構造平面直角坐標系，有助于將幾何圖形問題轉化為函數問題，此題中△GPC的高GF，就是點G的縱坐標，應用函數知識解決點G的坐標，從而求出高GF的長度，這樣比使用相似要明了得多.

二、構造全等三角形證明線段、角相等

三角形全等是幾何圖形中解決問題的常用方法，也是學生在解題過程中首選的方法.

例2 已知：如圖3，AB = CB，AD = CD. 求證：∠A = ∠C.

分析 此圖中，∠A與∠C不在同一個三角形內，不能使用等腰三角形性質——等邊對等角解決問題，也沒有線的平行等. 要證明∠A = ∠C，學生很自然想到全等三角形知識解決. 在教學當中，筆者也深刻感受這個問題對于學生沒什么難度，他們的方法，全是連接線段BD，構造全等三角形，如圖4. 通過證明△ABD ≌ △CBD，就可得到∠A = ∠C.

數學中很多問題的設計，我們都可以找到其原型，并通過改變相應的圖形，構造我們常見的基本圖形，將問題輕松轉化. 只要學習中做個有心人，處處留意，你會發現，構造的過程就是一個快樂、智慧的數學思維過程.