動點中的最值問題

【摘要】 動點與定點的關系：一個動點在定直線上運動與兩個定點，一個定點與定直線，一個定點與兩條定直線最值問題.

【關鍵詞】 動點；最值

初中數學的動點問題是學生學習的難點，但動點問題大多是中考必考點，體現數學的區分度. 筆者從三方面去探究初中的動點問題，達到最值問題的解決. 動點與定點的關系：一個動點在定直線上運動與兩個定點，一個定點與定直線，一個定點與兩條定直線最值問題.

一、一個動點在定直線上運動與兩個定點

例1 兩個村莊甲（圖中E點）、乙（圖中D點）在一條小河（圖中AB所在的直線代表小河）的同側，如圖1，要在小河邊建一座水泵站，向甲、乙兩村莊供水，為使到兩村莊鋪的水管最短，在小河邊找出新修建水泵的位置. 請畫圖說明，若甲、乙到小河岸邊的距離EA，DB分別是300米、500米，甲、乙兩村莊的水平距離是600米，求要鋪水管多長.并求出■ + ■的最小值.

分析 將數學應用問題轉化為數學模型的建立. 這是在一條定直線（小河河岸AB所在的直線）上找一點，使到兩個定點（甲、乙兩個村莊代表兩個定點）的距離最短. 以定直線為對稱軸，將定點中的一個（如圖中的D點）作它的對稱點移到對稱軸的另一側D′，連接這兩點ED′交AB于F點，求出它的長度ED′即可.

二、一定點與一定直線

例2 如圖2，在角平分線OJ上找一點H，使到OD上一點C的距離最短，A是OD上的定點，使HA + HC的距離最短.

分析 因為角平分線所在的直線是它的對稱軸，則轉化為一個定點在角的一邊上，在角平分線上和定點所在的直線上找兩點，使它們的和最短. 根據“從直線外一點向直線所作的線段中，垂線段最短”的原理，過定點A向角的另一邊OE作垂線段AB，再作B點的關于對稱軸OJ的對稱點C點，交OD于C點，連接HC，HA，所以HC + HA為最短.

變式：OA = 50，∠EOD = 45°，求出HC+HA的長度.

三、一個定點與兩條定直線

即一個定點在兩條直線上，找一點使路程的和最短.

例3 如圖3，一位牧民從家中A要把馬遷到牧場（DE所在的直線）去吃草，再到河邊FG所在的直線河岸去喝水，再回到家中，要使走的路徑最短， 應怎樣走？

分析 這是一個定點與兩條直線的最短問題，先作定點A關于直線DE的對稱點H，再作A點關于河岸FG所在的直線的對稱點I，連接HI，分別交DE，FG于B，C兩點，B，C即為所求的最短點.

變式：如圖4，∠EOB = 45°，OP = 10，求△PFG周長的最小值.

分析 P點是定點，OE，OB是定直線. 作出點P關于直線OE，OB的對稱點.連接這兩個對稱點分別交OE，OB于F，G兩點，連接PF，PG.這兩個對稱點的長度即為所作△PFG周長的最小值. 利用勾股定理求出長度.