談平面幾何中有趣的翻折問(wèn)題

【摘要】 在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，平面幾何占了很大一部分，是學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，而在平面幾何中，存在一類非常有趣的題型，就是翻折問(wèn)題. 翻折是我們?cè)谏钪谐３?huì)遇到的一種現(xiàn)象，特別是在一些有趣的折紙活動(dòng)中，通過(guò)不斷地翻折，總能折疊出一些非常有趣和魅力的物體或圖案. 而翻折問(wèn)題在幾何的考查中，也是具有重要特征的一類題目.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué)；平面幾何；翻折問(wèn)題；對(duì)稱圖形；全等圖形

翻折問(wèn)題其實(shí)運(yùn)用的就是有關(guān)軸對(duì)稱的知識(shí)，學(xué)生只有掌握好軸對(duì)稱的相關(guān)性質(zhì)，才能更加順利地解決翻折問(wèn)題. 下面將通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)具體說(shuō)明，希望對(duì)學(xué)生的解題思路有所啟發(fā).

一、翻折后的形狀問(wèn)題

翻折后的形狀問(wèn)題，主要是對(duì)某個(gè)形狀進(jìn)行若干次的翻折之后，剪去其中一個(gè)部分，判斷剩余部分的形狀. 也可以是反過(guò)來(lái)，給出剩余部分的形狀，讓學(xué)生判斷這個(gè)過(guò)程中是如何翻折的. 這就需要學(xué)生在每一次的翻折中都明確對(duì)應(yīng)的位置，確定好了相應(yīng)的位置，才能輕松判斷出剪去的部分到底是原圖中的哪一部分.

例1 小華拿出了一張正方形紙張，如圖①所示，沿著虛線對(duì)折之后得到圖②，再按照?qǐng)D②中的虛線對(duì)折得到圖③，沿著圖③的虛線（虛線與所得三角形的底邊平行）剪去一個(gè)角，打開(kāi)之后得到的圖形是 （ ）.

分析 在第一次折疊中，正方形的兩個(gè)直角重疊到了一起形成了圖②中三角形的直角，而另兩個(gè)直角在折疊后形成了圖②中三角形的兩個(gè)銳角. 再一次折疊，原正方形的四個(gè)直角變成了圖③中三角形的兩個(gè)底角，頂角為原正方形的中心，因此裁剪后的圖形應(yīng)該是中間少了一部分. 抓住裁剪虛線與三角形底邊平行這一點(diǎn)，可以得到正確答案為D.

點(diǎn)評(píng) 這類題目是一種比較基礎(chǔ)的考題，對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了要求，解決這類問(wèn)題，還有一種方法就是通過(guò)實(shí)際的動(dòng)手操作進(jìn)行驗(yàn)證. 教師在平時(shí)的教學(xué)中可以組織學(xué)生進(jìn)行這一類折疊活動(dòng)，讓學(xué)生熟練折疊的方式與產(chǎn)生的折痕之間的關(guān)系，樹(shù)立這種對(duì)應(yīng)意識(shí).

二、翻折后的角度問(wèn)題

在圖形進(jìn)行翻折之后，會(huì)產(chǎn)生很多有關(guān)角度的問(wèn)題，有的角沒(méi)變，有的角會(huì)變，這就需要實(shí)際考慮，仔細(xì)觀察，理清折疊的過(guò)程，把相關(guān)聯(lián)的角找出來(lái)就能很快地解決問(wèn)題.

例2 如圖2所示，把一張平行四邊形紙片ABCD沿著B(niǎo)D對(duì)折，使C點(diǎn)落在E處，BE與AD相交于點(diǎn)O，若∠DBC = 15°，那么∠BOD = ______.

解析 由翻折的意義可知，△BCD ≌ △BED，∴∠DBC = ∠DBE，∠EOD = ∠OBC = ∠OBD + ∠DBC = 15° + 15° = 30°，∴∠BOD = 180° - ∠EOD = 180° - 30° = 150°.

例3 如圖3所示，已知正方形紙片ABCD，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，把BC邊向上翻折后，使C點(diǎn)恰好落在MN上的P點(diǎn)處，BQ為折痕，則∠PBQ = ______.

解析 可以先連接PC，根據(jù)已知可得，MN為BC的中垂線，故PB = PC，又由已知得點(diǎn)P，C關(guān)于直線PQ對(duì)稱，所以BP = BC，因?yàn)椤鰾PC為正三角形，所以∠PBC = 60°，∠PBQ = ∠CBQ = ■∠PBC = 30°. 另外，也可以根據(jù)“直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)定理來(lái)求解.

點(diǎn)評(píng) 在翻折問(wèn)題中求角的度數(shù)，通常都是通過(guò)一些轉(zhuǎn)化的途徑把所求的角與已知聯(lián)系起來(lái)，翻折問(wèn)題中有很多角是相等的，這也為轉(zhuǎn)化角提供了可能. 在解題中一定要注意這一點(diǎn)，充分利用好相同角的互換，靈活地解題.

三、翻折后的線段長(zhǎng)度問(wèn)題

在圖形的翻折之后，常常會(huì)產(chǎn)生一些新的線段，圖形在經(jīng)過(guò)翻折之后，部分線段的位置發(fā)生變化，有的線段長(zhǎng)度也會(huì)發(fā)生變化，求翻折后的線段問(wèn)題的方法，與翻折后求角度問(wèn)題的方法是比較類似的，都是要抓住翻折前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把相對(duì)應(yīng)的線段做好標(biāo)記，利于使用.

例4 如圖4所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD，∠DBC = 45°，翻折梯形ABCD后，使點(diǎn)B重合于點(diǎn)D，折痕分別交邊AB，BC于點(diǎn)F，E.如果AD = 2，BC = 8，求BE的長(zhǎng).

解析 根據(jù)翻折可得，點(diǎn)B，D關(guān)于直線EF對(duì)稱，∴BD⊥EF. 又∵∠DBC = 45°，∴∠BEF = 45°. ∵△BEF和△DEF關(guān)于EF成軸對(duì)稱，∴∠DEF = ∠BEF = 45°，∴DE⊥BC，DE = BE. 又CE = ■（BC - AD） = 3，∴ BE = 5.

點(diǎn)評(píng) 在翻折問(wèn)題中除了要注意對(duì)應(yīng)線段的相等關(guān)系，還要留意翻折中所產(chǎn)生的一些特殊三角形，比如說(shuō)等腰三角形、直角三角形等，這些特殊三角形的性質(zhì)常常也能幫助解決問(wèn)題.

從以上幾道例題我們可以看到，翻折問(wèn)題的考查難度并不大，但還算靈活，翻折問(wèn)題主要是依托于軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，同時(shí)結(jié)合在翻折中產(chǎn)生的一些特殊圖形的性質(zhì)進(jìn)行考查. 學(xué)生如果要對(duì)相關(guān)的知識(shí)有足夠的了解，并能抓住翻折過(guò)程中的一些關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分析，就一定能順利地解決問(wèn)題.