一道中考題的解法探究

【摘要】 本文對一道中考題進行解法探究.

【關鍵詞】 多解；探究

問題：（2013·鎮江）如圖，五邊形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E = 120°，AB = CD = 1，AE = 2，則五邊形ABCDE的面積等于 .

在平時學習過程中，我們經常會遇到求不規則圖形的面積. 通常來講，解好此類問題要善于把不規則圖形向規則圖形去轉化，把陌生的圖形演變為我們比較熟悉的圖形進行處理.

解法一 如圖1，延長DC，AB交于點F，作AG∥DE交DF于點G.∵ AE∥CD，∠BAE = ∠AED = 120°，∴四邊形AFDE是等腰梯形，且∠F = ∠D = 60°，△AFG是等邊三角形，四邊形AGDE是平行四邊形. 設BF = x， ∵在Rt△BCF中，∠BCF = 90° - ∠F = 30°，∴ FC = 2x，FD = 2x + 1. ∵？荀AGDE中，DG = AE = 2，∴ FG = 2x - 1. ∵ △AFG是等邊三角形，AF = FG，∴ x + 1 = 2x - 1，解得x = 2.

在Rt△BCF中，BC = BF·tan F = 2■，則S△BCF = ■BF·BC = 2■. 作AH⊥DF，垂足為點H. 則AH = AF·sin F = ■，則S梯形AFDE = ■（AE + DF）·AH = ■.

所以S五邊形ABCDE = S梯形AFDE - S△BCF = ■ - 2■ = ■.

解法一源自試題答案，其將題圖補全為等腰梯形，計算出等腰梯形AEDF和Rt△BCF的面積，通過作差求解. 把不規則的圖形補全為規則圖形，利用補全后大圖形的面積減去補全增加的各小圖形的面積求解，運用了補全求差的方法，此外還可將圖形補全為三角形求解.

解法二 如圖2，延長BA，DE相交于點G，延長BC，ED相交于點F，作GH⊥AE，垂足為H，作DN⊥CF，垂足為N. 由∠BAE = ∠AED = 120°，∠B = 90°，AE∥CD，易得△AGE為等邊三角形，∠F = ∠DCF = 30°，△CDF為等腰三角形. 在△AGE中，AG = AE = 2，GH = AG·sin∠GAE = ■，可得S△AGE = ■AE·GH = ■. 在△CDF中，DN = CD·sin∠DCF = ■，CF = 2CN = 2CD·cos∠DCF = ■，可得S△CDF = ■CF·DN = ■. 在Rt△GBF中，GB = GA + AB = 3，BF = GB ÷ tan F = 3■，可得S△GBF = ■BF·GB = ■■.

所以S五邊形ABCDE = S△GBF - S△AGE - S△CDF = ■■.

解法三 如圖3，延長CB，EA相交于點G，延長BC，ED相交于點F，作EH⊥BC，垂足為H，作DN⊥GF，垂足為N. 易得∠G = ∠F = 30°，△GEF和△CDF是等腰三角形.

在Rt△ABG中，AG = AB ÷ sin G = 2，BG = AG·cos G = ■，可得S△ABG = ■AB·GB = ■■.

在△EGF中，GE = GA + AE = 4，EH = GE·sin∠EGH = 2，GF = 2GH = 2GE·cos∠EGH = 4■.

可得S△EGF = ■GF·EH = 4■.見解法二，易得S△CDF = ■. 所以S五邊形ABCDE = S△EGF - S△ABG - S△CDF = ■■.

解法四 如圖4，延長AB，DC相交于點F，延長BA，DE相交于點G，作DH⊥GF，垂足為H. 易得△AGE為等邊三角形，△DGF為等邊三角形，設FD = x，則BF = x - 3，FC = x - 1，FH = ■. ∵ BC∥HD，∴ ■ = ■，即■ = ■，解得x = 5，∴ BF = 2，FC = 4，根據勾股定理可得BC = 2■，∴ S△BFC = 2■. 易得等邊三角形DGF的面積為■■. 見解法二，易得S△GAE = ■.

所以S五邊形ABCDE = S△DGF - S△BCF - S△GAE = ■■.

為求不規則圖形的面積，也可考慮用分割求和法，將其分割成若干個規則圖形，再把這些規則圖形的面積相加求出不規則圖形的面積.

解法五 如圖5，作CF∥AB交DE于點F，連接AF，作EG⊥AF，垂足為G，作FH⊥CD，垂足為H. ∵ AE∥CD，∠AEF = 120°，∴∠D = 60°. ∵AB⊥BC，∴∠B = 90°，又CF∥AB，得∠BCF = 90°. 在五邊形ABCDE中，∠BCD = 540° - ∠BAE - ∠AEF - ∠D - ∠ABC = 150°，∴ ∠FCD = ∠BCD - ∠BCF = 60°，可得△CDF為等邊三角形. ∴ CF = CD = 1，FH = CF·sin∠FCD = ■，S△CDF = ■CD·FH = ■.

∵ CF = AB = 1，且CF∥AB，∴四邊形ABCF是平行四邊形，又∠ABC = 90°，∴？荀ABCF是矩形. ∴ ∠EAF = ∠BAE - ∠BAF = 30°，∴∠EFA = 180° - ∠AEF - ∠EAF = 30°，得△AEF為等腰三角形，EG = AE·sin∠EAG = 1，AF = 2AG = 2AE·cos∠EAG = 2■，∴ S△AEF = ■AF·EG = ■，S矩形ABCF = AB·AF = 2■.

所以S五邊形ABCDE = S△CDF + S△AEF + S矩形ABCF = ■■.

還可將圖形分割為圖6、7形式求解，解題思路如下：

解法六 如圖6，作EF∥AB交BC于點F，CG∥AB交DE于點G.

易證得：梯形ABFE和梯形CGEF均為直角梯形，△CGD為等邊三角形. 結合題目條件，參照以上解法，添加適當輔助線，易求得：

S梯形ABEF = ■■，S梯形CGEF = ■■，S△CGD = ■■.

所以S五邊形ABCDE = S梯形ABFE + S梯形CGEF + S△CGD = ■■.

解法七 如圖7，作BF∥AE交DE于點F，CG∥DE交BF于點G.

易證：梯形ABFE為等腰梯形，△BCG為等腰三角形，四邊形CDFG為平行四邊形. 結合題目條件，參照以上解法，添加適當輔助線，易求得：

S梯形ABFE = ■■，S△BCG = ■，S？荀CDFG = ■.

所以 S五邊形ABCDE = S梯形ABFE + S△BCG + S？荀CDFG = ■■.

教學中適當地對數學問題進行“一題多解”， 可以激發學生的求知欲，加深對所學知識的理解， 培養學生的思維品質，發展學生的創造性思維.