初中數學猜想型問題分析及對策

摘 要： 猜想是具有一定深度和廣度的思維活動，初中數學猜想型問題既初考查學生對數學知識的掌握程度，又促進學生探形成科學探究的思維方式.

關鍵詞： 初中數學猜想型問題探究 猜想 類比 創新思維

新課程改革以來，教師逐漸認識到了提高學生的自主探究能力遠比單一掌握數學知識重要.學生學習能力提高了才能舉一反三，為今后學習奠定基礎.反之，僅僅掌握數學知識，思維得不到真正的發展.基于這樣的認識，猜想型問題越來越受中考命題者的喜愛.

猜想是一種具有一定深度和廣度的思維活動，是數學操作、探究、發現過程中的一種探究性思維，這類問題既考查學生對數學知識的掌握程度和收集、處理信息的能力，又促進學生形成科學探究的思維方式，為發展學生的創新思維能力奠定基礎.隨著新課程的實施，今后中考試題中的數學猜想問題必將呈現新的局面，為新課程的實施和中學數學教學的改革起到推動作用.

猜想型問題要求學生根據題目中的數字或者圖形，分析歸納，直觀地發現共同點或者發展變化的趨勢，據此推測估計一些和我們所學知識不同卻又類似的相關結論，使帶有猜想性質的推斷盡量與實際情況相一致。題目如果需要則可以進行驗證或者證明，據此體現出猜想的真正內涵.猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經常以多種形式出現，解題時要善于從所提供的數字或圖形信息中，尋找共同的地方，這個存在于個別情況中的共性就是規律.其中蘊含“特殊—一般—特殊”的常用模式，體現了總結歸納的數學思想，這也正是人類認識新生事物的一般過程.相對而言，猜想結論型問題的難度較大，具體題目往往是直觀猜想與科學論證、具體應用的結合，解題的方法更靈活多樣：計算、驗證、類比、測量、操作等都能用到.由于猜想本身就是一種重要的數學方法，也是人們探索發現新知的重要手段，非常有利于培養創造性思維能力，因此備受命題專家的青睞，成為中考的熱點.本文從以下方面探討猜想型問題.

一、教師在猜想型問題教學方面的不足

教師往往平鋪直敘，照本宣科地將知識程序化地教給學生，學生只知其然，而不知其所以然.教師沒有給學生留有思考的余地，沒有給予學生思考的空間，也沒有讓學生多角度、全方位地探討解題途徑，束縛了學生的思維，課后也沒有總結，沒有總結如何更好地讓學生領悟，因此現在普遍有學生反映“上課聽起來全懂，可等到一做作業就不知道怎么下手”.

二、學生在解決猜想型問題方面的不足

學生很容易受已有知識局限性的影響，產生思維定勢，還有可能受平時一些不良習慣的影響，在理解題目上產生偏差，以致產生負遷移.

以一道中考題為例：我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.例如線段AB的最小覆蓋圓就是以線段AB為直徑的圓.

（1）請分別作出圖1中兩個三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）探究三角形的最小覆蓋圓有何規律？請寫出你所得到的結論（不要求證明）.

此題學生很容易誤認為是平時所學習的三角形外接圓的問題，導致第一小題銳角三角形和鈍角三角形都畫成了三角形的外接圓，第二小題的結論也變成了平時上課所教的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的外接圓圓心的分類問題，學生對三角形外接圓的知識比較熟，看到這個概念，腦子里很機械地反映出這個知識點，這道題目就失去了它的意義.

三、猜想型問題解決策略

1.以特殊值為突破口進行猜想

特殊值猜想問題指的是給出一定條件（可以是有規律的算式、圖形或圖表），讓學生認真分析、仔細觀察、綜合歸納、大膽猜想、得出結論，進而加以驗證的數學探索題.其解題思維過程是：從特殊情況入手→探索發現規律→綜合歸納→猜想得出結論→驗證結論，這類問題有利于培養學生思維的深刻性和創造性.

例1：將一張正方形紙片剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片，再將其中一小片正方形紙片剪成四片，如此循環進行，將結果填在下表中，并解答所提出的問題：

（1）如果能剪100次，共有多少個正方形？據上表分析，你能發現什么規律？

（3）利用上面得到的規律，要剪得22個正方形，共需剪幾次？

（4）能否將正方形剪成2004個小正方形？為什么？

解析：在具體活動中思考正方形個數與所剪次數的關系，從特殊到一般，揭示正方形個數勻速增加每次3個，最后得到當所剪次數為n時，正方形的個數為3n+1，在求剪22個正方形的時候，3n+1=22運用方程模型體現規律的一般性，學生在學習中經歷具體到抽象到具體的思維過程，感受這種方法的樂趣.

（1）100×3+1=301，規律是：本次剪完后得到的小正方形的個數比上次剪完后得到的小正方形的個數多3個；

2.用數形結合的思維探索并猜想

此類問題通常考查數的變化規律，然后用代數式表示這一規律，或者根據規律求出相應的數值.解題時，要通過觀察、猜想和驗證等步驟，應使所得到的規律具有普遍性，只有這樣才能應用于解題.

3.用類比感悟的思維方式進行猜想

通過動手實踐，自主探索，動腦獨立思考，經過試驗、操作、觀察、類比、歸納、猜想等活動，在手腦并用中體會思想方法，得出來的一定符合一定的經驗與事實的數學結論.在解題過程中，題目結構相同或類似，解題方法可能相同或類似，以此嘗試確定解題的思路.

例3.閱讀下面的材料：小明遇到這樣一個問題：如圖①，在邊長為a（a>2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°，求正方形MNPQ的面積.

① ② ③

小明發現：分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖②）.

請回答：

（2）求正方形MNPQ的面積.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

解析：本題是一道典型的類比猜想型試題，先由材料給出由等腰直角三角形拼成新正方形，教師引導學生找其中的等量關系，發現為什么能拼成新正方形的理由，從而得出其實中間的小正方形也是由四個小等腰直角三角形拼成的，從而得出第三小題變成等邊三角形后得出類似的解法，學生可以先模仿其畫出圖形.

分別延長RD，QF，PE交FA，EC，DB的延長線于點S，T，W.由題意易得：△RSF，△QET，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長均等于△ABC的邊長.

不妨設等邊△ABC的邊長為a，則SF=AC=a.

過點A作AN⊥SD于點N，設AD=AS=x，

此題以正方形為載體，巧妙地設計了一個類比求面積或邊長的自主探索的開放性試題，構思精巧，設計獨特，是一道好題.目的在于考查學生合情推理、邏輯推理、分析問題的能力，更注重學生思維探究過程.類比猜想型問題，要先仔細讀懂題目所給的材料或所進行的操作及方法，然后進行類比遷移、合理猜想.因此，掌握題中所給材料是解題的關鍵，當然此類問題要防止產生負遷移.

4.利用問題引發學生操作并猜想

由于數與形是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而形具有形象、直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，我們把數對應的形找出來，利用圖形解決問題.

例4.圓心角與圓周角關系定理的發現過程

關于一條弧所對的圓周角與它所對圓心角的關系，我們用問題串引導學生進行試驗與探究，從而猜想得到的結論：

（1）任意畫一個圓O，在圓上任意取三個點A，B，C，分別連接AB，AC，OB，OC.

（2）在你所畫的圓中，哪個角是圓周角？哪個角是圓心角？

（3）圓心O與你所畫出的圓周角有什么位置關系？圓心O與圓周角還可能有哪幾種位置關系？

學生猜想：圓周角與所在圓的圓心的關系有三種：圓心在圓周角的一邊上，圓心在圓周角的內部，圓心在圓周角的外部.

（4）分別量出三個圖中，圓周角BAC與圓心角BOC的度數；你有什么發現？

學生猜想：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

之后教師與學生一起驗證，顯然這個定理是通過試驗操作自己發現的.在探索過程中，學生獲得了數學活動的經驗.利用這種方法很好地激發了學習興趣.

總之，做猜想型問題，教師應引導學生做猜想之前，先經過仔細思考，合理推導，大膽又不失慎重地提出自己的合理猜想，然后進行驗證.教師可以不斷點撥、指導，幫助學生調整思路.在驗證過程中，要幫助學生打開思路，讓學生明白驗證是一個科學、嚴謹的過程，必須在把各種情況都考慮過后才能慎重地得出結論.在得出結論的過程中，要提高學生的總結能力，引導學生回顧整個猜想的過程，明確猜想的合理性，感受驗證過程對得出結論的重要性.只有通過這樣的過程，學生才會發現結論的得出要建立在前面辛苦工作的基礎上，結論不是隨意得出的，而是有一定科學依據的.

猜想是數學中重要的思想和方法之一.較大的數字問題可仿較小數字問題處理，實現了以簡馭繁的策略.在解題時，如果你不能解決所提出的問題，就可先解決“一個與此有關的問題”.你能否想出一個更容易著手的問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？你能否解決這個問題的一部分？這就是數學家解題時的“絕招”.

參考文獻：

[1]唐秋.例談教學中學生動手操作契機的把握.中學數學雜志，2011.2.

[2]朱哲.在讀懂數學教學的基礎上把握教學策略.初中數學教與學，2013.5.

[3]周效世.解題的樂趣在于發現解題規律.中小學數學，2003.11.

[4]邢成云.立足探索，發展思維.中學數學雜志（初中），2011.10.