愛因斯坦與方程的小故事

有一次，著名物理學家愛因斯坦病了，他的一位朋友給他出了一道題消遣：

“時鐘上的針指向12點鐘，在這個位置如果把長針和短針對調一下，它們所指示的位置還是合理的. 但是在有的時候，比如6點鐘，時針和分針就不能對調.否則會出現時針指12，而分針指6，這種情況是不可能的.

問針在什么位置時，時針和分針可以對調，使得新位置仍能指示某一實際上可能的時刻？”

愛因斯坦說：“這對于病人確實提了一個很有意思的問題，有趣味而不太容易. 只是消磨不了多少時間，我已經快解出來了.”說著他在紙上就解起來了.

愛因斯坦畫了個草圖. 鐘盤上共有60個刻度.分針運轉的速度是時針的12倍.

設所求的時針的位置是x點y分，此時分針在離12點有y個刻度的位置，時針在離12點有z個刻度的地方.

時針走一點時，分針要轉一圈，也就是要轉60個刻度. 如果時針指向x點鐘，分針要轉x圈，要轉過60x個刻度. 現在時針指向x點y分，分針從12點起已轉過了60x+y個刻度. 由于時針運轉的速度是分針的十二分之一，所以時針轉過的刻度是z=個.

把時針、分針對調以后，設所指時刻為x1點z分，這時時針離12點有y個刻度，y=個.

這樣就得到了一個不定方程組：

z

=；

y

=.

其中x1和x是不大于11的正整數或0.

讓x1和x取0到11的各種數值時，可以搭配出144組解. 但是當x=0，x1=0時是時針、分針同時指向12點；而x=11，x1=11時算出y=60，z=60是11點60分，即12點. 這樣x=0，x1=0與x=11，x1=11是同一組解. 因此，這組不定方程只有143組解.

比如，當x=1，x1=1時，解出y=5，z=5，說明1點5分時，兩針重合，可以對調；

當x=2，x1=3時，解出y=15，z=11，就是2點15分與3點11分兩針可以對調.

愛因斯坦的朋友十分欽佩他的解題能力.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）