讓智慧在解題中提升

一元一次方程是最基本的一類方程，它是本學期數學學習的一個重點，也是以后學習其他類型的方程的基礎. 本文旨在幫助同學們正確理解一元一次方程的概念、方程解的定義，熟練掌握一元一次方程的解法，利用一元一次方程的知識解決一些生活中的應用問題.

例1 判斷下列說法是否正確：

（1） 如果ac=bc，那么a=b；

（2） 如果=，那么a=b.

【解析】 等式性質1：等式的兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，所得結果仍是等式.

等式性質2：等式的兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式.

由等式性質2知，等式兩邊同除以同一個數，除數必須不為0，所以只有當c≠0時，才能得到a=b. 故（1）不正確. （2）正確，由=，等式兩邊同乘c，即得a=b.

練習1 下列變形正確的是（ ）.

A. 若x=y，則x+2m=y+2m

B. 若a=b，則a+c=b-c

C. 若a=b，則=

D. 若（m2+1）a=-1（m2+1），則a=1

答案：A.

例2 方程（m-1）x|m|=m+2n是關于x的一元一次方程，若n是它的解，則n-m=_____.

【解析】 根據一元一次方程的定義可知，未知數系數不為0，未知數最高次數為1，因此需滿足m-1≠0且|m|=1；根據方程的解的定義可知x=n是方程的解.

解：由方程（m-1）x|m|=m+2n是關于x的一元一次方程知：m-1≠0且|m|=1，解得m=-1. 原方程化簡為-2x=-1+2n. 由n是方程-2x=-1+2n的解知-2n=-1+2n，解得n=. 則n-m=.

練習2 關于x的一元一次方程（k2-1）xk-1+（k-1）x-8=0的解為_____.

答案：x=2.

例3 解方程=-.

【解析】 該方程不僅有分母，分母還是小數，若利用分數基本性質，分子、分母同時擴大，則會導致分子數值很大. 可利用等式性質2，讓分母化整，再去分母.

解：=-.

等式兩邊同乘0.001，得

=-.

等式兩邊同乘72，得

3（7x-1）=4（1-0.2x）-6（5x+1）.

去括號，得21x-3=4-0.8x-30x-6.

移項，得21x+0.8x+30x=4-6+3.

合并同類項，得51.8x=1.

系數化為1，得x=.

練習3 解方程：-=20.

答案：x=-10.

例4 當x=1時，px3+qx+1的值為2 004，則當x=-1時，px3+qx+1=______.

解：把解“代”回家，當x=1時，px3+qx+1=p×13+q×1+1=p+q+1=2 004，由此可得p+q=2 003；再把x=-1代入px3+qx+1，可得px3+qx+1=p×（-1）3+q×（-1）+1=-p-q+1=-2 003+1=-2 002.

練習4 方程-=2x+k的解是x=3，那么k2+的值等于_______.

答案：35.

例5 A、B兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行，已知甲車速度為120千米/小時，乙車速度為80千米/小時，經過t小時后甲、乙兩車相距50千米，則t的值為_________.

【解析】 因為經過t小時后甲、乙兩車相距50千米，包括兩種情況：一種是還未相遇兩車相距50千米；一種是相遇后繼續行進，相距50千米. 所以求t值時，應分類討論.

解：當兩車未相遇時，120t+80t+50=450，解得t=2；當兩車相遇時，120t+80t-50=450，解得t=2.5. 因此經過2小時或2.5小時兩車相距50千米.

練習5 A、B兩城市相距110 km，大巴車和出租車分別從A、B兩地同時出發相向而行，大巴車的速度為55 km/h，出租車的速度為65 km/h，兩車出發多長時間后相距10 km？

答案：兩車出發50分鐘或1小時后相距10 km.

例6 為迎接校運動會的召開，七（2）班學生接受了制作小旗的任務. 原計劃一半同學參加制作，每天制作40面. 完成了三分之一后，全班同學一起參加，結果比原計劃提前一天半完成任務. 假設每人的制作效率相同，問共制作小旗多少面？

【解析】 本題可借助示意圖來理清思路，從而找到等量關系.

若設計劃做x天完成，由題知：

解：方法一 設計劃做x天完成，

由題可列方程：

40×x+40×2×

x-1.5=40x.

解方程得x=4.5.

所以，40×4.5=180（面）.

答：共制作小旗180面.

方法二 設共制作x面小旗，由題可列方程：=×++1.5.

解方程得x=180.

答：共制作小旗180面.

練習6 一收割機隊每天收割小麥12公頃，收割完一片麥地的后，該收割隊改進操作，效率提高到原來的倍，因此比預定時間提早1天完成.問這片麥地有多少公頃？

答案：這片麥地有180公頃.

例7 為增強市民的節水意識，某市對居民用水實行“階梯收費”：規定每戶每月不超過月用水標準部分的水價為1.5元/噸，超過月用水標準部分的水價為2.5元/噸. 該市小明家5月份用水12噸，交水費20元. 請問：該市規定的每戶每月用水標準是多少噸？

【解析】 設該市規定的每戶每月用水標準為x噸，根據小明家所交的水費判斷出x的范圍，然后可得出方程，解出即可.

解：設該市規定的每戶每月用水標準為x噸，

∵ 12×1.5=18<20，

∴ x<12，

從而可得方程：1.5x+2.5（12-x）=20，

解得：x=10.

答：該市規定的每戶每月用水標準為10噸.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）