一道填空題的追問與探究

期中測評卷上有這樣一道填空題：已知關于x的方程x-a=x+142的解為自然數，則自然數a的最小值是________. 我們從開始的一籌莫展到后來的新問題提出與解決，經歷了一種探究的過程，現在與大家一起分享我們的研究成果！

首先分享一個小“笑話”.考試時我一看問題“自然數a的最小值是________”，不假思索地寫下0，因為0是最小的自然數啊！后來細想，不對啊！將a=0代入等式中解得x=，x不是自然數，與條件相矛盾，顯然是錯誤的. 經過老師的點撥，知道前面的條件已經限制了自然數a的取值了.

于是，應該先解方程，即用字母a的代數式表示出x，解得x=（142+a），乘多少才使得x為自然數呢？我們應該想到142+a必定是9的倍數. 根據小學里學過的知識：只要142+a的各個數位上的數字之和是9的倍數就有142+a是9的倍數. 顯然有：當自然數a=2時，1+4+2+a=9是9的一倍，于是142+a是9的倍數；當自然數a=2+9=11時，142+a必定也是9的倍數；當自然數a=2+9+9=20時，142+a必定也是9的倍數……所以，我們就能得知符合條件的自然數a有規律地排列：2、11、20、29、38……自然數a的最小值是2.

由前面的分析可歸納出規律，當a=2+9k（k為自然數）時，142+a是9的倍數. “k為負整數時，a就是負整數，此時142+a也是9的倍數嗎？”突然我的腦海中閃現這樣的想法. 于是，我向老師、同學們提出了這幾個問題：

【追問1】 若“自然數a”改為“負整數a”

已知關于x的方程x-a=x+142的解為自然數，則負整數a的最小值是________，最大值是________.

解：根據前面的分析則有：x=（142+a）=（142+2+9k），當k=-1時，負整數a=-7是最大值，此時x=150；當x=-16時，負整數a=-142是最小值，此時x=0. 所以，負整數a的最小值是-142，最大值是-7.

a的取值可以為非整數嗎？帶著這個問題，我們繼續思考.

【追問2】 若“自然數a”改為“負數a”

已知關于x的方程x-a=x+142的解為自然數，則負數a的最大值是______.

解：由x=（142+a）思考：假如a是負分數使得10（142+a）是9的倍數，也有解使自然數成立. 于是結合前面9的倍數數字特征，當a=-0.7時，x=（142+a）==157，此時a=-0.7是最大的負數.

如果將“解是自然數解”改為“解是正整數”，a仍然為負數呢？

【追問3】 “解是自然數”改為“解是正整數”，a仍然為負數

已知關于x的方程x-a=x+142的解為正整數，則負數a的最小值是______.

解：由x=（142+a）思考，當解取最小值正整數1時，a=-141.1，故負數a的最小值是-141.1.

反思：這道填空題的變式追問和探究帶給我們很多收獲與樂趣. 老師常說，對好的問題要善于追問、變式，提出新的問題，做到“做一題，會一類，通一片”，這樣學習效果最好. 數學真像一個無底洞，永遠也探究不完，摸索的過程很有樂趣！

王老師點評：王昊天、王凡兩位同學對期中考試卷上一道填空題反思、探究得這么深，老師為你們高興. 從不同角度對條件或結論進行改編追問，使得問題更有了深度，思維上更有了廣度. 這種“一題多變”擴大成果的學習方式值得贊賞與推廣. 謝謝你們做了榜樣！

（指導教師：王憲成）