巧解兩類數(shù)學應用題

一、 利用速度關系式解題

在解七年級數(shù)學“用一元一次方程解應用題”中的水（風）流問題時，我們熟知下面兩個關系：

順水（風）速度=靜水（風）速度 + 水（風）速（1）

逆水（風）速度=靜水（風）速度 - 水（風）速（2）

（1）+（2）、（1）-（2）分別得：

順水（風）速度 + 逆水（風）速度=2靜水（風）速度（3）

順水（風）速度 - 逆水（風）速度=2水（風）速（4）

巧用（3）、（4）可以解一類難以列方程求解的應用題.

例1 輪船從甲地到乙地要5天，而從乙地到甲地要7天，試問一木排從甲地漂流到乙地要多少時間？

解：木排漂流的速度就是水流速度，設木排從甲地漂到乙地需x天，兩地之間的航程S千米，則用（4）列方程，有：

-=2×，故-=，

解得：x=35（天）.

答：木排從甲地漂流到乙地需35天.

例2 公共汽車始發(fā)站每隔一定時間發(fā)車一次，有人在街上勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘有一輛汽車從背后超過，每隔4分鐘有一輛汽車迎面駛過，問始發(fā)站每隔幾分鐘發(fā)一輛車？

解：把行人的速度看成水流速度，那么迎面來的車相對于人的速度相當于順水速度，背后來的車相對于人的速度相當于逆水速度.

設車站每隔x分鐘發(fā)一輛車，同時行駛的兩輛車之間相距S千米，則用（3）列方程，有：

+=2×，

故+=2×，

解得x=5（分鐘）.

答：始發(fā)站每隔5分鐘發(fā)一輛車.

二、 利用時間關系式解題

在勻速運動中，若甲走完路程S1、S2，所需時間分別為t1、t2，乙走完路程S1、S2，所需時間分別為t′1、t′2，則有

t1·t′2=·，t2·t′1=·.

即有t1·t′2=t2·t′1.

應用這個時間關系式解某些應用題，過程簡單，常常能化難為易.

例3 A、B兩地相距72千米，甲從A地、乙從B地同時出發(fā)，相向而行，兩人相遇后，甲再走5小時到達B地，乙再走3小時12分到達A地，求兩人的速度.

解：設兩人自出發(fā)經x小時相遇于C，甲走AC、BC的時間分別為x小時和5小時，乙走AC、BC的時間分別為3小時和x小時，則有x2=5×3，x2=16，x=4，

∴ V甲==8，V乙==10.

答：甲、乙兩人的速度分別為8千米/小時、10千米/小時.

例4 甲、乙兩人共同完成某項工程需若干天，甲單獨做則需多做18天，乙單獨做則需多做32天，問甲、乙兩人單獨做各需多少天？

分析：工程問題也可利用解行程問題的方法來解，單位時間完成的工作量可看作單位時間走的路程.

解：設甲、乙合作工程需x天完成，其中甲完成工作量m，乙完成工作量n，則甲完成工作量m、n的時間分別為x天、18天，乙完成工作量m、n的時間分別為32天、x天，有x2=32×18，故x=24，

∴ 24+18=42（天），24+32=56（天）.

答：甲、乙兩人單獨做分別需42天、56天.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）