巧延伸 妙拓展

課本上的習題，看似很平常，實則具有極大的拓展空間. 我們不能滿足于順利解決習題，而應由此及彼，層層延伸，步步拓展，從而挖掘知識之間的聯系，提高解題能力和學習能力. 下面我們就從課本一道習題談起，一起來探究正方體的展開圖給我們帶來的聯想與拓展.

課本習題 七年級上冊蘇科版教材129頁數學實驗室：將一個正方體紙盒沿部分棱剪開展成一個平面圖形. 把你得到的平面圖形與同學交流.

【分析】 立體圖形的展開是培養空間立體感的好方法，既要能憑空想象，又要能動手操作、仔細觀察、深入思考.

正方體的平面展開圖共11種（那些經旋轉或翻轉后方向不同但實質相同的圖形不重復計算）.

（1） “141”型：

（2） “132”型：

（3） “222”型： （4） “33”型：

變式1：下列圖形是正方體的展開圖的是（ ）.

【分析】 根據正方體展開圖的特點：若同一層最多有四個正方形，則在這四個正方形的兩側應各有一個正方形；正方體展開圖中不可能出現“田”字形. 故選項C是正確的.

變式2：圖1是一個正方體表面展開圖，如果正方體相對的面上標注的值相等，那么x+y=______.

【分析】 在動手操作和觀察正方體的11種展開圖的過程中可得：正方體的展開圖中若出現了“目”字形，則最上面和最下面的正方形是相對的面，如2x與8；若出現了“Z”字形，則頭尾兩個正方形是相對的面，如y與10.

拓展1：一紙箱制造廠有如圖2所示的紙板，想用這種紙板制造棱長為a的正方體紙箱，請你幫助設計. （要求盡量不浪費紙板）

【分析】 題中所給紙板共有12個小正方形拼成，要盡量不浪費紙板，則一張紙板最多可折疊成兩個正方體紙箱，即這12個小正方形要盡可能割成兩個正方體的平面展示圖. 由正方體展開圖的特點，可如圖3設計分割方法.

拓展2：將如圖4的表面帶有圖案的正方體沿某條棱展開后，得到的圖形是（ ）.

【分析】 研究帶有圖案的正方體的展開圖，往往要先觀察圖案之間的相鄰或相對關系，動手折一折、剪一剪、看一看是解決問題的最好的方法. 從正方體上觀察可知這三種圖案位于正方體的同一個頂點處，即帶有圖案的3個正方形是兩兩相鄰的，而不是相對的，故選項D是正確的.

拓展3：李明同學準備制作一個正方體紙盒，先用5個大小一樣的正方形制作成如圖5所示的拼接圖形（實線部分），動手折疊后發現少一個正方形，請你幫助李明同學再拼一個正方形，使新拼接成的圖形經過折疊后能成為一個正方體盒子. （添加所有符合要求的正方形）

【分析】 展開與折疊是兩個步驟相反的過程，要能夠折疊成正方體，只需要判斷是否是正方體的展開圖. 同學們知道展開圖中相鄰兩個正方形必須至少有一條棱是重合的，首先就能夠斷定添加的正方形只能是圖6中1～10位置的正方形. 再由正方體的11種展開圖可知，符合要求的正方形只有4個，即1、7、8、9.

拓展4：如圖7，在正方形兩個相距最遠的頂點處逗留著一只蒼蠅和一只蜘蛛. 蜘蛛可以沿正方體表面從哪條最短路徑爬到蒼蠅處？說明你的理由.

【分析】 在立體圖形中很難感受到蜘蛛如何爬行才能使路線最短，不妨把立體圖形轉化為平面圖形. 把正方體展開，如圖8，在展開圖上根據“兩點之間，線段最短”，即可畫出最短路徑. 化立體圓形為平面圖形是解決立體圖形“最近路徑”問題的關鍵.

我們從課本習題出發，探究了正方體展開圖及相關的數學思想，通過變式與拓展，解決“形異而質同”問題. 希望在以后的學習中，同學們能注重課本習題，舉一反三，在求變求新中提高解題能力！

（作者單位：江蘇省常州市武進區湖塘實驗中學）