巧用輔助未知數，解方程更簡便

應用題是數學競賽中的熱門題型，涵蓋的知識點較多，且解法多樣靈活. 而方程則是最為常見的解題工具.解此類題目的關鍵是要從實際問題中抽象出數學模型，列出相應的方程式，而列方程最重要的環節就是未知數的設立，因此，要列好方程，首先要學會合理設置未知數，設置有價值的未知數.

設立直接未知數或間接未知數是同學們在解方程時常用的方法，一般的方程應用題運用以上兩種設法基本上都可以解決，但是有些較復雜、信息量較大的題目就要學會設置輔助未知數來巧妙求解. 這些未知數不一定要求解，因為在解題過程中它們往往會相消或者是相約，只是利用它們的過渡作用達到列出方程并解出方程的目的. 下面選取幾個例題來說明輔助未知數的用法，與大家共享：

例1 一個工程隊承包了甲、乙兩項工程，甲工程的工作量是乙工程的兩倍，前半個月全體工人都在甲工程上工作，后半個月工人平均分成兩組，一組仍在甲工程工作，另一組到乙工程工作，一個月后，甲工程完工，乙工程的剩余量剛好是一個工人一個月的工作量. 請問：這個工程隊一共有多少工人？（每個工人的工作效率相同）

分析：本題在解答過程中要抓住的是甲、乙工程量的關系，因為工人的工作效率未知，故可設置其為輔助未知數.

解：設總人數為x，每個工人的月工作量為a，列方程如下：

x·+·=2

·+a.

ax=ax+2a.

x=x+2.

x=8.

答：這個工程隊共有8人.

小結：解方程過程中輔助未知數被相約，從而只剩下一個未知數，可以輕松解出所求未知數.

例2 在某種濃度的鹽水中加入一杯水后，得到新鹽水，它的含鹽率為20%，又在新鹽水中加入與前述“一杯水”相同質量的純鹽后，鹽水的含鹽率變成33.33%即為

，那么原來的鹽水含鹽率為（ ）.

A. 23% B. 25%

C. 30% D. 32%

分析：本題在解答時應抓住前后兩次改變后的含鹽率，并利用公式——鹽水×含鹽率=鹽，且明確——加入水質量=加入鹽質量.

解：設原鹽水質量為a，含鹽率為x，加入的水（鹽）質量為b.

=， ①

=. ②

由①得5ax=a+b，由②得ax+b=，ax代入后得=.

求得a=4b，代入①得=，相約后得x=，即x=25%.

答：應選B.

小結：本題在設未知數的過程中，a，b均為輔助未知數，最后用含有b的代數式來表示a并將分子與分母中的b相約從而求得x. 同時這個題目中運用的代入消元法，也能幫助我們將復雜的方程式化成一元一次方程.

由上述兩個例子我們可以看出，對于存在等量關系的實際問題，我們都可以運用方程的思想著手解決，不用擔心未知數的個數，列出方程后再運用消元的思想去解方程.

教師點評：這兩類問題我們經常會遇到，尤其是例2，它反映了數學學科和化學學科之間的聯系，學科間的融合性在這里充分體現. 該同學能根據問題中的等量關系，大膽地列出方程，并轉化成我們所學過的一元一次方程去解決，體現了解決方程最本質的消元思想.

（指導教師：李 慧）