古代數學中的一元一次方程

方程這個名詞，最早見于我國古代算書《九章算術》. 《九章算術》是在我國東漢初年編定的一部現有傳本的、最古老的中國數學經典著作. 書中收集了246個應用問題和其他問題的解法，分為九章，“方程”是其中的一章.

1. 雞兔同籠問題

雞兔同籠是中國古代的數學名題之一. 大約在1 500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題. 書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞、兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳. 問籠中各有幾只雞和兔？

【分析】 這個問題中數量之間有這樣的相等關系：雞頭的數量+兔頭的數量=35，雞腳的數量+兔腳的數量=94.

我們可以用一個相等關系設未知數，另一個相等關系建立方程.

解：設雞的數量是x只，則兔子的數量是（35-x）只.

根據題意得，2x+4（35-x）=94.

解之得，x=23.

35-x=12.

答：籠中雞有23只，兔子有12只.

2. 寶塔裝燈問題

我國明代數學家吳敬所著的《九章算術比類大全》中，有一道數學名題叫“寶塔裝燈”，內容為：遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？（倍加增指從塔的頂層到底層）.

【分析】根據題意，設頂層的紅燈有x盞，則第二層有2x盞，依次第三層有4x盞，第四層有8x盞，第五層有16x盞，第六層有32x盞，第七層有64x盞，總共381盞，列出方程，解方程即可得解.

解：設頂層的紅燈有x盞.

由題意得：

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381

127x=381

x=3.

答：塔的頂層有3盞燈.

3. 良馬駑馬問題

元代朱世杰所著《算學啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行兩百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”

【分析】根據題意，駑馬先行一十二日，則駑馬先行了1 800里，這個問題中數量之間有這樣的相等關系：駑馬跑的路程+1 800里=良馬跑的路程.

解：設良馬x天能追上駑馬.

根據題意得，150x+1 800=240x.

解之得，x=20.

答：良馬20天可以追上駑馬.

4. 丟番圖的墓志銘

希臘數學家丟番圖（公元3-4世紀）被認為是代數學的鼻祖，但人們對于丟番圖的生平知道得非常少，歷史上甚至沒有一本正式的著作里留下他完整的生平介紹. 他唯一的簡歷是從《希臘詩文集》中找到的. 這是由麥特羅爾寫的丟番圖的“墓志銘”. “墓志銘”是用詩歌形式寫成的：“過路的人，這兒埋葬著丟番圖. 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年. 再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭. 五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半. 晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年. ”根據以上信息，請你算出：（1） 丟番圖的壽命. （2） 丟番圖開始當爸爸時的年齡.（3） 兒子死時丟番圖的年齡.

【分析】 根據題意，只要知道丟番圖的壽命，其他的年份都可以通過他的壽命算出來.

解：設丟番圖的壽命是x歲.

根據題意得，+++5++4=x.

解之得，x=84.

+++5=38.

84-4=80.

答：丟番圖的壽命是84歲，丟番圖當爸爸時是38歲，兒子死時丟番圖80歲.

我國古代數學家劉徽注釋《九章算術》說：“程，課程也. 二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程.”這里所謂“如物數程之”，是指有幾個未知數就必須列出幾個等式. 一次方程組各未知數的系數用算籌表示時好比方陣，所以叫做方程. 方程這個概念在《九章算術》中的“方程”章最早出現. 其中解方程組的方法，不但是我國古代數學中的偉大成就，也是世界數學史上一份非常寶貴的遺產. 這一成就進一步證明：中華民族是一個充滿智慧和才干的偉大民族.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）