用一元一次方程解決問題

（蘇科版七年級下冊108頁問題4）運動場環形跑道長400 m，小紅跑步的速度是爺爺的5/3倍，他們從同一起點沿跑道的同一方向同時出發，5 min后小紅第一次追上爺爺，請求出小紅與爺爺的速度.

這是一個環形跑道上的追及問題，今天我們就從這個問題出發研究一下行程問題中的追及問題.

拓展一 運動場環形跑道長400 m，小紅跑步的速度是爺爺的倍，他們從同一起點沿跑道的同一方向同時出發，5 min后小紅第一次追上爺爺，如果小紅追上爺爺后立即轉身沿相反方向跑，那么幾分鐘后小紅與爺爺再次相遇？

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

小紅跑的路程+爺爺跑的路程=400 m.

解：設x分鐘后，小紅和爺爺再次相遇.

由教材解題過程可知道，爺爺的速度是120 m/min，小紅的速度是200 m/min.

根據題意，得120x+200x=400.

解這個方程，得x=1.25.

答：1.25分鐘后，小紅和爺爺再次相遇.

【點評】 該問題是相遇問題，蘊涵的主要相等關系是：小紅和爺爺所跑的路程和等于環形跑道的周長.

拓展二 運動場環形跑道長400 m，小紅跑步的速度是爺爺的倍，他們從同一起點沿跑道的同一方向同時出發，5 min后小紅第一次追上爺爺，假設爺爺與小紅第一次相遇后繼續跑，則第______分鐘第二次相遇，第______分鐘第三次相遇，假想一下，若他們一直這樣循環下去，第______分鐘后第n次相遇.

【分析】 由題意可知道，小紅和爺爺第一次相遇時，小紅比爺爺多跑了400 m，第二次相遇時，小紅比爺爺多跑了800 m，那么依次類推，第n次相遇時，小紅比爺爺多跑了400n m.

可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

爺爺跑的路程+400n m=小紅跑的路程.

解：設第x分鐘后第n次相遇.

由教材中解題過程可知道，爺爺的速度是120 m/min，小紅的速度是200 m/min.

根據題意，得120x+400n=200x.

解這個方程，得x=5n.

答案：第10分鐘爺爺和小紅第二次相遇，第15分鐘爺爺和小紅第三次相遇，第5n分鐘爺爺和小紅第n次相遇.

【點評】 這幾個問題都是追及問題，每增加一次相遇，小紅跑的路程都相應地增加一圈.

變式一 甲、乙兩人在400 m的環形跑道上練習跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.

（1） 甲與乙同地、同向出發，乙先跑10 m，甲出發后需要多長時間兩人首次相遇？

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

乙跑的路程+10 m=甲跑的路程.

解：設甲出發x秒后兩人首次相遇.

根據題意，得4.5x+10=5.5x.

解這個方程，得x=10.

答：甲出發10秒后兩人首次相遇.

（2） 甲與乙同地、同向出發，乙先跑4 s，甲出發后需要多長時間兩人首次相遇？

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

乙前4秒跑的路程+乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.

解：設甲出發x秒后兩人首次相遇.

根據題意，得4.5x+4.5×4=5.5x.

解這個方程，得x=18.

答：甲出發18秒后兩人首次相遇.

（3） 甲與乙同地、同向出發，甲先跑100 m，乙出發后需要多長時間兩人首次相遇？

【分析】 由教材中108頁問題4解題過程可知道，他們從同一起點沿跑道的同一方向同時出發時，如果他們第一次相遇，小紅比爺爺多跑一圈. 本題中，甲與乙同地、同向出發，甲先跑100 m，如果他們第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.

可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

乙跑的路程+300 m=甲跑的路程.

解：設乙出發x秒后兩人首次相遇.

根據題意，得4.5x+300=5.5x.

解這個方程，得x=300.

答：乙出發300秒后兩人首次相遇.

變式二 甲、乙兩人在同一條路上前進，甲每小時行3 km，乙每小時行5 km，甲在中午12點時經過A地，乙在下午2點經過A地，問乙下午幾點能追上甲？

【分析】 “甲在中午12點時經過A地，乙在下午2點經過A地”說明當乙到A地時，甲在乙前面3×2=6（km）處.

可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

甲在12點到下午2點走的路程+甲在下午2點后走的路程=乙在下午2點后走的路程.

解：設乙出發x小時后，乙追上甲.

根據題意，得3x+3×2=5x.

解這個方程，得x=3.

2+3=5.

答：乙下午5點能追上甲.

【變式訓練1】 汽車以每小時72 km的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷. 駕駛員按一聲喇叭，4秒后聽到喇叭聲，此時汽車距離山谷多少米？（聲音的速度是340 m/s）

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

汽車4秒走的路程+汽車4秒后離山谷的距離=聲音走的路程-汽車4秒后離山谷的距離.

解：設4秒后汽車距離山谷x米.

每小時72 km=每秒20米.

根據題意，得x+20×4=340×4-x.

解這個方程，得x=640.

答：此時汽車距離山谷640米.

【變式訓練2】 甲、乙兩人同時以每小時4 km的速度從A地出發到B地辦事，走了2.5 km時，甲要回去取一份文件，他以每小時6 km的速度往回走，取了文件后以同樣的速度追趕乙，結果他們同時到達B地，已知甲取文件時在辦公室耽誤了15 min，求A、B兩地的距離.

【分析】 可以畫出線形示意圖：

根據線形示意圖我們可以找到這個問題中數量之間的相等關系是：

甲往回走后乙走的路程+2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.

本題如果直接設A、B兩地的距離相對較難處理，我們可以采用間接法設未知數.

解：設甲從往回走到追上乙共用了x小時.

15 min=0.25 h.

根據題意，得

2.5+4x=6（x-0.25）-2.5.

解這個方程，得x=3.25.

2.5+4x=15.5.

答：A、B兩地的距離是15.5 km.

把實際問題轉化為方程，有助于幫助學生感受方程是刻畫現實世界的有效的數學模型. 方程的出現源于實際問題，追及問題是實際問題中的一個很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解決追及問題.

（作者單位：江蘇省常州外國語學校）