巧妙分類 嚴(yán)謹(jǐn)討論

摘 要：結(jié)合教學(xué)實踐感悟，以“概念”“原因”“基本步驟”及“具體運(yùn)用”四個方面為切入點(diǎn)，對“分類討論”這一思想展開了系統(tǒng)而全面的分析、討論與研究。

關(guān)鍵詞：分類討論；基本步驟；具體運(yùn)用

分類討論是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見、最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，貫穿于初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。以下，筆者將結(jié)合自身的教學(xué)實踐經(jīng)驗及感悟，嘗試就“分類討論”思想展開初步的研究與分析。

一、數(shù)學(xué)分類討論思想的概念及內(nèi)涵

在諸多的數(shù)學(xué)問題中，有些問題并沒有唯一可確定的最終結(jié)論，有些問題的結(jié)論并不能以完全統(tǒng)一、一致的形式表示……這就要求在解決這些問題時，必須將所要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的原則或者標(biāo)準(zhǔn)將其劃分為若干個不同的類別，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行具體的分析、研究，最后再將若干類的具體結(jié)論進(jìn)行匯總與整合，求得正確的結(jié)果。由上述分析中，我們可以得出：按不同情況進(jìn)行分類，再逐個進(jìn)行具體分析、具體研究的數(shù)學(xué)思想，即為“分類討論思想”。（把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想）

二、數(shù)學(xué)中運(yùn)用分類討論的主要原因

1.題目中所涉及的相關(guān)概念本身就是以分類定義存在的；

2.數(shù)學(xué)題目中所要運(yùn)用到的公式、定理、性質(zhì)等本身是有嚴(yán)格條件限制的；

3.題目中的已知量是以字母表示數(shù)的形式給出的，這時，需要對字母的取值范圍進(jìn)行嚴(yán)格的定義及討論；

4.題意中涉及圖形形狀、位置不確定以及不明確的結(jié)論時也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行分類討論，具體情況具體分析。

三、解答分類討論數(shù)學(xué)問題的基本步驟

1.首先要明確需要進(jìn)行討論與分類的數(shù)學(xué)對象，確定其取值范圍；

2.嚴(yán)格遵循標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)、不遺漏等原則對數(shù)學(xué)問題中的各項條件進(jìn)行科學(xué)分類；

3.有些數(shù)學(xué)題目僅靠一次分類難以順利解答出正確的結(jié)果，這時，就需要學(xué)生在原有劃分標(biāo)準(zhǔn)的情況下再依據(jù)特定的限制性條件進(jìn)行更深層次的分類；

4.對若干類討論結(jié)果進(jìn)行總結(jié)、整合與歸納，形成最科學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)論。

四、例談分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運(yùn)用

1.分類討論思想在數(shù)學(xué)概念、定義中的運(yùn)用

有些數(shù)學(xué)概念、定義本身就對要考慮的對象進(jìn)行了分類以及嚴(yán)格的范圍限制，因此在解答這類型的數(shù)學(xué)題目時，應(yīng)當(dāng)對其進(jìn)行合理的分類討論。

例1.解方程|4x-4|-|2x+2|=14

分析：絕對值概念是一個需要分類討論的概念，因此，在解答這一問題之前，必須明確該數(shù)是否具有真實的幾何意義。

因此，其正確解答過程應(yīng)為：

（1）當(dāng)x≥1時，原方程轉(zhuǎn)化為（4x-4）-（2x+2）=14，去掉括號進(jìn)行加減，可求得x=10；

（2）當(dāng)-1≤x≤1時，原方程則轉(zhuǎn)化為4-4x-2x-2=14，由此可求得x=-2。很明顯，“-2”一值不屬于“-1≤x≤1”這一范圍，因此該解無效，故舍去；

（3）當(dāng)x≤-1時，原方程化為4-4x+2x+2=14，進(jìn)行加減可求得x=-4。

因此，由上分析中可得出x=10或-4為正確答案。

2.“分類討論思想”在字母取值范圍中的運(yùn)用。

例2.解不等式ax+3>2x+a

分析：通過移向，該不等式可轉(zhuǎn)化成“（a-2）x>a-3”的形式，此時，若是對“（a-2）”的范圍不加以分析與討論，得出的必將是一個錯誤的結(jié)果。因為，“（a-2）”的范圍存在以下三種可能：a-2>0、a-2=0、a-2<0。不同的范圍對應(yīng)著不同的結(jié)果。

因此，其正確解答過程應(yīng)為：

（1）確定“a-2>0”“a-2=0”以及“a-2<0”三種情況；

（2）針對上述三種情況進(jìn)行具體的分析與解答：

①當(dāng)a-2>0時，a>2，該不等式的解為x>（a-3）/（a-2）

②（2）當(dāng)a-2=0時，a=2，此時，可以發(fā)現(xiàn)該不等式的左邊恒等于0，右邊的結(jié)果為2-3=-1，由于0恒大于-1，所以該等式的解為一切實數(shù)。

③當(dāng)a-2<0時，a<2，此狀況下，該不等式的解為x<（a-3）/（a-2）。

（3）綜上所述：當(dāng)a-2>0時，x>（a-3）/（a-2）；當(dāng)a-2=0時，x為一切實數(shù)；當(dāng)a-2<0時，x<（a-3）/（a-2）。

3.“分類討論思想”在圖形位置關(guān)系或形狀中的運(yùn)用

例3.已知半徑為a的兩圓外切，半徑為2a且和這兩圓都相切的圓共有多少個。（ ）

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

分析：由題意可知，和這兩個圓同時相切的圓可分為：同時外切、同時內(nèi)切以及一個內(nèi)切一個外切三種情況；在此分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與研究，可得知，有兩個圓能滿足“同時外切”的條件，一個圓能滿足“同時內(nèi)切”的條件，兩個圓則分別能滿足“一個外切，一個內(nèi)切”的條件，由此，能滿足上述題目所述條件的圓實際上共有5個。

總之，我們初中數(shù)學(xué)教師必須有意識、有策略地加強(qiáng)對學(xué)生“分類討論”這一數(shù)學(xué)思想的教育與滲透，以此為契機(jī)，切實提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性、邏輯性與縝密性。

參考文獻(xiàn)：

鄧鳳文.如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想[J].中學(xué)教學(xué)參考，2013（9）.

作者簡介：楊勇清，女1977.4，學(xué)歷：本科，就職學(xué)校：廣東省惠州市惠陽第一中學(xué)，研究方向：初中數(shù)學(xué)。

Clever Classification，Rigorous Discussion：Discussing about the Application of Classified Discussion Thought in Junior Middle School Mathematics

Yang Yongqing

Abstract： Combining with the teaching practice understanding，making four aspects of“the concept” “causes”“the basic steps” and “application” as the starting point，the teacher are analyzed， discussed and studied and comprehensive of the idea of “classified discussion”.

Keywords：classified discussion；basic steps；application

編輯 楊兆東