上半連續函數的若干性質

摘 要：本文介紹了上半連續函數的定義，上半連續函數與連續函數之間的關系，上半連續函數的等價描述，上半連續函數的若干性質以及一些例子。

關鍵詞：連續；上半連續；下半連續；一致連續

函數的種類極為復雜，有一類函數并不連續，卻具有一些與連續函數相近的性質，即連續函數的一個推廣——半連續函數。上半連續函數是連續函數的一種重要推廣，研究上半連續函數與連續函數之間的關系以及上半連續函數的性質對連續函數的理解會更加深刻。因此，討論上半連續函數是一件很有意義的工作。

一、上半連續的定義

定義1：f （x）設在x0及其附近有定義，所謂f （x）在x0處上半連續是指：？坌ε>0， ？堝δ>0，當x∈E，|x-x0|<δ時，恒有f （x）

定義2：所謂f （x）在x0處下半連續，是指：？坌ε>0，？堝δ>0，當x∈E，|x-x0|<δ時，恒有f （x）>f （x0）-ε.

二、上半連續函數的等價條件

1.函數在一點上半連續的等價條件

在給出上、下半連續函數的等價描述之前，先給出函數的上、下極限的定義.

定義3：設函f （x）數在集合A上有定義，x0∈A為A的一個聚點，當且僅當數M為f （x）在x0處所有子極限的最大者時，稱M為f （x）在x0處的上極限，記作M=■f （x）.

定義4：函數f （x）在集合A上有定義，x0∈A為A的一個聚點，當且僅當數M為f （x）在x0處所有子極限的最小者時，稱M為f （x）在x0處的下極限，記作M=■.

2.函數在集合E中上半連續的等價條件

定義：當且僅當f （x）在集合E中處處上（下）半連續時，稱f （x）在E中上（下）半連續.

定理1：設E為閉集，f （x）在E上有定義，則f （x）在E中上半連續的充要條件是：？坌c∈（-∞，+∞），集合F（c）={x∈E：f（x）≥c}為閉集.

三、上半連續函數的若干性質

1.運算性質

定理2：（1）若在[a，b]上，函數f（x），g（x）上半連續，則它們的和f（x）+g（x）也在[a，b]上為上半連續.（2）若在[a，b]上，函數f（x）及g（x）>0，且上半連續，則它們的積f（x）·g（x）在[a，b]上是上半連續的.若f（x）>0且上半連續，g（x）<0且下半連續，則f（x）·g（x）下半連續.

2.關于上半連續函數的界

定理3：有界閉區間上的上半連續函數，必有上界，且達到上確界.具體來說，若f（x）在[a，b]上是上半連續的，則：（1）f（x）在[a，b]上有上界（？堝M>0，使f（x）≤M，？坌x∈[a，b]）；（2）f（x）在[a，b]上達到上確界（即：？堝x0∈[a，b]使得f（x0）=■f（x））.

3.一致上半連續與一致連續之間的關系

一致上半連續的定義：設f（x）是定義在區間I上的函數，若對？坌ε>0， ？堝δ>0，當x′、x″∈I，|x′-x″|<δ時，有f（x′）≤f（x″）+ε，則稱f（x）在區間I上一致上半連續.

一致上半連續與一致連續之間的關系：f（x）在I上一致上半連續？圳f（x）在I上一致連續.

四、結束語

本文著重闡述了上半連續函數的若干性質，如運算性質，上半連續函數局部保負性，無介值性，關于上半連續函數的界，保半連續性，一致上半連續與一致連續之間的關系。當然，由于筆者知識尚淺，在上半連續函數的應用要求方面還做得不是很好，在今后的學習中有待完善。

參考文獻：

[1]周運明，尚德生.數學分析（上）[M]北京：科學出版社，2008.

[2]曾眺英.半連續函數的性質[J].嘉應學院學報，2011，29（5）：20-24.