問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中的運(yùn)用

【文章摘要】

問題是數(shù)學(xué)的心臟，用問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學(xué)生知道知識(shí)來龍去脈，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)激情，也能更好的發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。本文通過“弧度制”概念的教學(xué)為載體來論述這一觀點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】

數(shù)學(xué)問題；弧度制；教學(xué)設(shè)計(jì)；問題驅(qū)動(dòng)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)是解決數(shù)學(xué)問題。用問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，用問題把學(xué)生逼上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的戰(zhàn)場，讓學(xué)生在這個(gè)戰(zhàn)場中摔打和歷練，求得生存和發(fā)展，這是一種比較適合中職學(xué)生學(xué)習(xí)的方法。

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，采用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，有于學(xué)生對(duì)概念的理解。

1 問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理念

問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理念是：創(chuàng)設(shè)“有效問題”驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究和知識(shí)建構(gòu)，在教師的有效引導(dǎo)和學(xué)生的積極參與下，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的發(fā)生、發(fā)展和概念的建立過程，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家提煉、完善數(shù)學(xué)概念的過程；在教學(xué)中設(shè)計(jì)有層次的一系列問題，分層次地驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的思維。

問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，其實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生在一系列數(shù)學(xué)問題的驅(qū)動(dòng)下，通過解決問題獲得知識(shí)——數(shù)學(xué)概念的建立。在這樣一個(gè)過程中學(xué)生會(huì)感知數(shù)學(xué)思想方法，感知發(fā)現(xiàn)問題解決問題的方法，體驗(yàn)尋找和發(fā)現(xiàn)真理的方法。

問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的過程如下：

問題產(chǎn)生的背景提出問題問題的探究和解決（概念的建立）問題的拓展知識(shí)的應(yīng)用。

2 用問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中的運(yùn)用

下面以弧度制教學(xué)設(shè)計(jì)為例，說明問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中的運(yùn)用。

在弧度制這一節(jié)教學(xué)中，基于角度制存在計(jì)算上繁瑣這一數(shù)學(xué)內(nèi)部問題，提出能不能建立新的進(jìn)位制使得其計(jì)算比較簡單方便，通過1度角的規(guī)定的類比提出弧度制的基石——1弧度的定義，然后探究它的本源性和合理性，在這一過程中揭示角度制和弧度制之間的換算關(guān)系，最后將知識(shí)的橫、縱向作一簡單的拓展，完成教學(xué)目標(biāo)。

教師：數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展一般由兩種需要引起，一是生活，生產(chǎn)的需要；二是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。我們學(xué)習(xí)了度量角的一種方法叫角度制，它是一種很好的方法，為我們解決了許許多多的問題，給我們的生活和生產(chǎn)帶來了方便，不過這種進(jìn)位制也有缺陷，正所謂有好的一面也存在不利的一面的。聰明的人類總是設(shè)法改善事物不好的一面，為人類服務(wù)。

2.1 問題產(chǎn)生的背景

[問題1]鐘面上時(shí)針和分針的夾角為，請(qǐng)問此時(shí)可能是幾點(diǎn)？

學(xué)生1：可能5時(shí)，7時(shí)，17時(shí)，19時(shí)（也許回答得不全，其他學(xué)生補(bǔ)充）。

[問題2] —— （度），應(yīng)該是嗎？

學(xué)生2：，不是

教師：很好！你能說出這樣做的原因嗎？

學(xué)生2：是60進(jìn)制呀。

教師：是啊，角度制的進(jìn)位制是60進(jìn)制，不是十進(jìn)制，我們也能看出這樣的計(jì)算還是比較繁瑣的，這是角度制的缺陷！那么我們能不找到象實(shí)數(shù)的十進(jìn)制那樣的進(jìn)位制來度量角呢？答案是肯定的，這節(jié)課的主要任務(wù)就是探求這種進(jìn)位制，它叫弧度制。

設(shè)計(jì)者語：“興趣意味著自我活動(dòng)”，好奇是探究的起點(diǎn)。角度制是種很好的進(jìn)位制但也是有缺陷的，這樣先揚(yáng)后抑攫取學(xué)生的好奇心，喚起學(xué)生的興趣，激發(fā)探索問題的激情，讓學(xué)生的思維活動(dòng)起來。

2.2 問題的提出

[問題3] 同學(xué)們還記得是怎樣規(guī)定的嗎？

（學(xué)生交流，可能不能準(zhǔn)確回答這個(gè)問題，需要教師點(diǎn)撥）

教師：把一個(gè)圓周分成360等份，每一個(gè)等份的圓弧所對(duì)的圓心角的大小就是。這是角度制的基石！然后提出那么作為弧度制的基石1弧度又應(yīng)該怎樣規(guī)定呢？

定義：長度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角的大小稱為1弧度。

如圖，即當(dāng)?shù)拈L度=r時(shí)，所對(duì)的圓心角=1（rad）

（這個(gè)1就是實(shí)數(shù)1）

一種進(jìn)位制的基石是怎樣規(guī)定單位“1”。角度制是把圓周360等份，每一份的弧所對(duì)的圓心角大小規(guī)定為1度，那么作為弧度制的基石1弧度又應(yīng)該怎樣規(guī)定呢？這兩者是具有可比性的，學(xué)生會(huì)用類比的方法積極思考這個(gè)問題，進(jìn)一步喚起學(xué)生要探究這個(gè)問題的興趣，但是學(xué)生要給出定義仍然是很困難的，教師適時(shí)給出定義（規(guī)定）就顯得必要了。

2.3 問題的探究和解決及弧度制概念的建立

教師：1弧度為什么要這樣規(guī)定呢？它合理嗎？我們的前輩們又是怎樣處理這個(gè)問題的呢？下面我們來探究以下這個(gè)問題。

[問題4]填空：

（1）周角=______弧度，1平角=______弧度 ， 1周角=______弧度

（2）弧長是的圓弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)=_____弧度

學(xué)生3：（1）周角所對(duì)的圓弧長= = r，所以周角=弧度，同理

1平角= 弧度，1周角=弧度

教師：推理過程合理、正確，非常好！

學(xué)生4：（2）弧長是的圓弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)=弧度。

教師：你是怎樣的出的這個(gè)結(jié)果的？

學(xué)生4：周角所對(duì)的圓弧長==r，則=，1平角所對(duì)的圓弧長，=，則=，猜想，弧長是的圓弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)= 弧度。

學(xué)生5：不用那么麻煩的，由定義就可以得到弧長是的圓弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)=弧度。

教師：敏銳的目光，棒極了！

[問題5] 依據(jù)上述的探究，同學(xué)們能不能得出角度制與弧度制之間的換算關(guān)系呢？

學(xué)生6： 角度制與弧度制之間的換算關(guān)系是：

利用“問題串”分層次的探究弧度制概念的建立。以弧長的計(jì)算公式為生長點(diǎn)，從特殊到一般探究與角度的關(guān)系，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。設(shè)計(jì)的問題，教師稍加點(diǎn)撥學(xué)生就能解決的，這樣學(xué)生的自信心得到較好地強(qiáng)化，激發(fā)學(xué)生的激情去探究問題。學(xué)生經(jīng)歷了弧度制概念的建立過程，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)尋找真理發(fā)現(xiàn)真理的方法，學(xué)生的思維也得到了錘煉。

2.4 問題的縱、橫拓展

教師：很好。至此，我們知道了什么是弧度制，知道了1弧度是怎樣規(guī)定的，也搞清楚了角度制與弧度制之間的換算關(guān)系，利用這個(gè)關(guān)系我們就能具體的進(jìn)行角度數(shù)與弧度數(shù)的轉(zhuǎn)化了。然而，在做這個(gè)問題前，我們有必要回過頭來看看課本開頭的問題了———弧度制使高等數(shù)學(xué)中的一些公式變得簡單優(yōu)美。

實(shí)數(shù)的大小能看成是兩線段長度的比值，這樣它同弧長與半徑之比的意義就完全一致了，從這個(gè)觀點(diǎn)出發(fā)，實(shí)數(shù)就一身二職：既代表兩線段長度之比，又代表一個(gè)確定的角度，比如1既代表兩相等線段的比值，又代表一個(gè)的角的大小，也正因?yàn)閷?shí)數(shù)的二重性，角的三角函數(shù)才能作為實(shí)數(shù)集之間的一個(gè)映射，與函數(shù)的定義一致。也正因?yàn)槿绱耍c，有著內(nèi)在的聯(lián)系：

（多么優(yōu)美而簡單的公式?。?/p>

（大家學(xué)了高等數(shù)學(xué)的知識(shí)后就知道了）

弧度制概念的產(chǎn)生和發(fā)展是由于數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要引起的，必然會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出應(yīng)有的作用，課本開頭的話讓學(xué)生感到很突然，因此就很有必要在弧度制概念建立后對(duì)他在高等數(shù)學(xué)中作用來一個(gè)簡單介紹。這樣讓學(xué)生對(duì)弧度制有深層次的了解，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美，同時(shí)也留下懸念激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的可能性。

3 問題驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的作用

3.1 讓學(xué)生經(jīng)歷概念建立過程，有利于學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)

弧度制這節(jié)課教材是采用“弧度制定義（概念）——弧度制與角度制之間的換算關(guān)系——應(yīng)用”的演繹體系來安排的，這樣的安排是希望學(xué)生學(xué)習(xí)概念后再解決問題，并通過問題的解決來進(jìn)一步理解概念，有利于學(xué)生知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)，但這樣做把有意義的，鮮活的生成數(shù)學(xué)概念的活動(dòng)過程和思維過程給去除了，使學(xué)生不知道弧度制概念是怎樣產(chǎn)生的，為何這樣規(guī)定，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展是不利的。有人稱它為“教學(xué)法的顛倒”。本教學(xué)設(shè)計(jì)是還概念建立過程的原本歷程，旨在為發(fā)展學(xué)生的思維盡些綿力。

3.2 讓學(xué)生參與概念的建立是感知數(shù)學(xué)思想方法、發(fā)現(xiàn)問題解決問題的有效方法

問題是數(shù)學(xué)的心臟，用問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生的概念學(xué)習(xí)，充分利用知識(shí)的生長點(diǎn)和學(xué)生鄰近的知識(shí)發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)有效的問題是可以調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，使學(xué)生能主動(dòng)參與概念的建立，感知數(shù)學(xué)思想方法，感知發(fā)現(xiàn)問題解決問題的方法，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。不過課堂是鮮活的，設(shè)計(jì)的問題是要留有余地，便于問題解決過程中生成的有意義的新問題的處理。

3.3 讓學(xué)生參與概念的建立是引發(fā)學(xué)習(xí)的熱情和激情的重要途徑

事物是普遍聯(lián)系的，知識(shí)不是孤立的，知識(shí)建立的過程讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅，新知識(shí)建立后，也需要盡可能及早地讓它“活”起來、“立體”起來。讓學(xué)生感到它是有用的，這樣會(huì)使學(xué)生由于自身的需要而引發(fā)學(xué)習(xí)的熱情和激情。

教師和學(xué)生是課堂中的兩大主體，這兩大主體的和諧程度直接影響“教”與“學(xué)”的質(zhì)量，教師進(jìn)課堂前及在教學(xué)中的“喜悅心”和學(xué)生在課堂中的“喜悅心”相互影響，教師要引領(lǐng)這種“喜悅心”向全班同學(xué)彌漫，讓同學(xué)在輕松、愉悅的心境中學(xué)習(xí)，多好！這才是真正的適合中職學(xué)生的教學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

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