“函數奇偶性的判斷與證明”學習導航

■王佩其

一、基礎知識必備

1.奇偶性是針對整個定義域而言的,單調性是針對定義域內的某個區間而言的,奇偶性是一個“整體”性質,單調性是一個“局部”性質;定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。奇函數的圖像關于原點成中心對稱,偶函數的圖像關于y軸對稱。具有奇偶性的函數,其定義域必然關于原點對稱;若f(x)是奇函數,則f(0)=0;奇函數在關于原點對稱的區間上,若有單調性,則其單調性完全相同,最值相反;偶函數在關于原點對稱的區間上,若有單調性,則其單調性相反,最值相同。

2.判斷函數奇偶性的三種方法:定義法,對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(x)=f(-x),則f(x)是偶函數,對于函數f(x)的定義域內任意一個x,都有f(x)=-f(x),則f(x)是奇函數;圖像法,圖像關于原點成中心對稱的函數是奇函數,圖像關于y軸對稱的函數是偶函數;運算法,奇函數+奇函數=奇函數,偶函數+偶函數=偶函數,奇函數×奇函數=偶函數,奇函數×偶函數=奇函數。

3.若函數g(x),f(x),f[g(x)]的定義域都關于原點對稱,則u=g(x),y=f(u)都是奇函數時,y=f[g(x)]是奇函數;u=g(x),y=f(u)都是偶函數,或者一奇一偶時,y=f[g(x)]是偶函數。

二、典型例題分析