高職數學中極限的求法總結

摘 要：極限理論是高等數學的基礎，極限方法是深入研究函數和解決各種實際問題的基本思想方法。本文就函數極限的求法做簡單的歸納總結。

關鍵詞：極限 無窮小 洛必達法則 重要極限 左右極限

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（a）-0177-02

在《高等數學》這門課程中，極限是一條主線，它是貫穿始終的一個重要概念，在這里將極限的各種求法總結歸納如下。

1 利用函數的連續(xù)性求極限

（1）定義：設函數在點的某一領域內有定義，如果則稱函數在點連續(xù)。

（2）定理：一切初等函數在其定義區(qū)間內連續(xù)。

例1：求

解：由于在連續(xù)，所以。

總結：這種求極限的方法又稱“代入法”，只要函數在這一點連續(xù)，就可以使用這種方法。

2 利用無窮小量的性質求極限

（1）無窮小量具有如下性質：無窮小量與有界函數的乘積仍為無窮小量。

例2：求

解：因為∞時，為無窮小量，為有界函數，故∞時，為無窮小量，所以

=0

總結：、為常見的有界函數。

（2）無窮小量與無窮大量具有如下關系：

在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；如果為無窮小，且則為無窮大。

例3：求

解：由于所以：。

3 利用等價無窮小代換求極限

（1）定理：設，

①若，則。

②若，則。

常用的等價無窮小：當時，，，，，，，，。

例4：求

解：當時，，，所以：

==0。

總結：使用等價無窮小代換可以大大減少計算量，使求極限變得簡單。另外，在使用等價無窮小代換求極限的過程中要注意，等價無窮小代換只能在求極限的乘除運算中使用，而在加減運算中不能使用。

4 利用洛必達法則求極限

（1）洛必達法則（一）：若函數分別滿足下列條件：

①；

②在點的左右近旁可導，且：；

③存在（或為），則：。

例5：求

解：這是一個型的未定式，我們利用洛必達法則來計算。由于，所以：

==1。

（2）洛必達法則（二）：若函數分別滿足下列條件：

①；

②在點的左右近旁可導，且；

③存在（或為），則：。

例6：求

解：

總結：洛必達法則式求型和型極限非常重要的方法，需要注意的是只有在存在時才能使用洛必達法則，否則法則失效。

5 利用二個重要極限求極限

（1）第一個重要極限：。

例6：求

解：

（2）第二個重要極限：。

例7：求

解：=

。

6 利用左右極限求極限

定理：函數在點處極限存在的充要條件是在點處的左極限和右極限存在且相等，即：

。

例8：求函數在處的極限。

解：由于，，所以： .

總結：對于分段函數在分點處極限是否存在，由于分點兩側解析式不同，因此只能使用左右極限進行判斷。

參考文獻

[1]趙佳音.高等數學[M].北京大學出版社，2004：10-36.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2007：133-136.