分段函數的微積分典型問題例析

摘 要：函數作為高等數學中最為重要的研究對象，是高等數學的基礎，其研究思想和方法在整個高等數學學習過程中都會涉及到。分段函數是函數中一類特殊的函數，相對于其他函數具有一定的難度。本文以分段函數為研究對象，結合例題就其相關問題進行分析，從而為分段函數的解題提供方向，突破高等數學中分段函數問題上的難點。

關鍵詞：分段函數 問題 例析

中圖分類號：G642.4 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（a）-0073-02

在高等數學的學習過程中，分段函數作為函數中特殊的一類，對其理解和接受都存在一定難度，同時也是高等數學教學中的重點和難點。為了突破這一難點，就要掌握分段函數在分界點處的各種性質，進而利用微積分計算等方法進行求解。

1 分段函數和微積分

分段函數是指在不同的定義域區間具備不同解析式的函數，即不能用同一解析式進行表達的函數。歸根結底，分段函數也是一個函數，其圖像也是唯一的。而分段函數在分界點的性質變化正是其難點所在，也是其本身特殊性所在，因此為了研究分段函數，首要的研究目標就是分段函數的分界點，而微積分在高等數學中也占據著重要的地位，是研究函數有關概念和性質的數學分支，能夠使得分段函數中分界點的相關計算有據可依。兩者的互相補充為高等數學的解題帶來了便捷。

2 分段函數微積分問題歸類與分析

2.1 一元分段函數微積分

2.1.1 對一元分段函數在分界點處的極限判斷

對于一元函數分界點處極限的判斷，主要是依據分段函數的表達形式。若函數表達形式在分界點的左右不同，就可以依據分段函數在分界點處左右極限來判斷，當極限存在且相等時，該點存在極限；若不存在或者兩者不相等時，則該點不存在極限。若分界點左右的函數表達方式相同，就可直接運用計算極限的常用方法將極限計算出來。舉例說明：

例1：已知函數=，求（1）；（2）。

解析：由分段函數表達式可知，x=1為該分段函數的分界點，當x<1和x>1時，所對應的解析式也不同。所以針對（1）問，應該討論當x趨近于1時的左右極限。因此x時，x<1，此時；而當x時，x>1，此時，因此則有函數的左極限與右極限相等，即=1，因此=1，進而得到 。

2.1.2 對一元函數在分界點處的連續性判斷

函數在某一點具有連續性的充要條件是函數在該點同時滿足左連續和右連續。高等數學中也正是依據這個條件來判斷分段函數中分界點處的函數連續性。其具體解決步驟為：第一步，利用左右連續的定義進行分界點左右連續情況的判斷；第二步，根據結果進行判斷，當左右都連續則證明該分界點連續，若其中有一個不連續或者左右極限不存在或者函數在該分界點不存在定義，即可判斷該點不連續。舉例說明：

例2：判斷函數在指定點處的連續性。

，在x=1的點。

，在x=1的點。

，在x=0的點。

解析：雖然滿足==1的條件，但是=，所以在x=1該點處并不連續。

根據分母不可為0的條件，可知在x=1處無定義，因此在x=1點處不連續。

因為=1；=-1，因此左右兩邊的極限值不等，該函數在x=0處不連續。

2.1.3 一元分段函數的導數計算

由于分段函數是由多個解析式進行表達的函數，因此，分段函數的求導也可以采取分段求導的方式，分界點處則需要進行單獨討論。對于分界點處的函數求導主要有以下兩種方法，即利用分段函數在分界點的導數定義進行求導，或者利用分段函數在分界點處的導數極限存在定理進行求導。此處著重介紹第二種方法，即利用分段函數在分界點處的導數極限存在定理進行求導。舉例說明：

例3：=，討論當n分別等于1，2，3時在x=0處的連續性、可導性以及其對應導函數的連續性。

解析：（1）當n=1時，分界點處的函數連續但不可導。

針對其連續性：有= =0=，因此可以證明此點函數連續。

針對其可導性，有：

不存在，因此該函數在x=0處不可導。

（2）當n=2時，分界點處的函數連續且可導，但是其導函數在x=0處不具備連續性。

針對其連續性：有= =0=，因此可以證明在該點函數具有連續性。

針對其可導性：

，即=0，因此有該函數在x=0處可導。

針對其導函數的連續性，有： ，因此不存在，即該函數的導函數并不具有連續性。

（3）當n=3時，分界點處的函數連續且可導，其導函數也連續。

函數在分界點處的連續性和可導性求解方法同（2）問。

針對其導函數的連續性：有 ==0，因此當n=3時，其導函數在x=0處連續。

2.1.4 一元分段函數的不定積分計算

分段函數作為導函數，其原函數在通常狀況下也是分段函數，每一個表達式的原函數都有一個常數。根據不定積分的可積性，在導函數連續的情況下，原函數也一定連續，且其中的不定積分只具有一個任意常數。因此，一元分段函數的積分計算，關鍵在于函數的連續性。通過找出分段原函數在分界點的連續性就可以進一步找出任意常數之間的關系，從而求出分段函數的原函數。其步驟主要可以分為以下兩步：先分別求出各區間段不定積分的表達式，之后再由原函數的連續性確定積分常數之間存在的關系。舉例說明：

例4：設=，求。

解析：是在區間（-，+）間的不定積分，因此，=。

當x≤0時，=。

當x >0時，=。

因為不定積分只能含有一個任意常數，并且要滿足在區間（-，+）內可導，所以原函數在（-，+）區間內一定是連續的，根據這個條件，便可以消去其中一個常數項。

由在x=0處連續可以得出，，即，令=C，則有

=

2.1.5 一元分段函數的定積分求法和微分方程

在有限區間內求分段函數的定積分相對來說比較簡單，可以通過在有限區間內的函數可加性進行計算。

二元分段函數和一元分段函數一樣，都是采用類似的求解方法，區別只是在于自變量的個數有所增加，進而使得積分形式增多。其中涉及到的積分形式主要有二重積分、三重積分、曲面積分、曲線積分等，隨著維數的逐漸增大，數形結合解決更具難度，計算上也更為復雜。舉例說明：

例5：證明函數

在點（0，0）處連續，其偏導數存在。

解析：因為≤≤，

所以有=0=，所以該函數在點（0，0）處連續。

同時，因為，所以=0，同理=0，因此此處存在偏導數。

3 結語

分段函數的微積分是幫助我們解決函數極限、連續性、可導性、不定積分與定積分計算的有效工具，在相關問題的解決上有著重要的作用和意義。除此之外，在生活中也有一定的應用意義，因此，分段函數的微積分典型問題的例析是十分有必要的，通過相關問題的例析使學生掌握問題的解決方向和有效方法，不僅對于學生獨自解決分段函數微積分問題的能力提高有益，對其日后的高等數學的學習過程也有著積極的、長久的意義。

參考文獻

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