以定積分為主線的積分教學的嘗試

摘 要：以定積分為主線，對積分學的教學進行了整合，并對定積分定義的引入、湊微分法的教學做了細致探討。

關鍵詞：主線 積分教學 積分形式不變性

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）04（b）-0195-02

“微積分”是高校各專業學生必修的一門重要課程，主要內容有微分學與積分學兩部分，對于微分學。教師的教學安排、學生知識掌握情況通常較好；而對于積分學。傳統的教材內容體系、教師的教學安排多延續了“不定積分—定積分”的順序模式。

從實際應用角度來看。積分思想的本質是某種特定結構形式的極限問題，即黎曼和的極限。而從計算角度來看，定積分是帶了限的不定積分，這種先講“不定積分”。再講“定積分”的教學安排.往往使學生重視定積分的計算。而忽略了對定積分概念本身的認識。而黎曼和的思想恰是我們在解決大量實際問題中需要靈活掌握的定積分定義的核心所在。

在從事微積分教學近十年時間里。筆者以為“不定積分—定積分”這種教學內容設計與安排對不利于學生認識、理解和掌握積分內涵。為了解決這個困擾。在教學中。筆者嘗試建立了以定積分為主線的積分學的教學體系結構。并在教學中得以實踐。

1 從本質入手，闡述定積分思想

進入積分學，首先介紹定積分的概念，可針對不同專業學生，引用相關領域的實際問題，激起學生興趣，啟發引導學生自主探究新問題，最后歸納出定積分概念——黎曼和的極限。

定積分能很好的求解面積，以求圖形面積引入定積分是經典的教學方法，但是傳統教材都采用演繹法，即以抽象問題的形式給出，對學生理解復雜的“分割—近似—求和—取極限”有一定難度，何不采用歸納法，使學生更易接受？教學中，筆者采用如下例子。

例：如圖1所示，求由軸、軸、直線及曲線所圍平面圖形的面積。

分析：將區間[0，1]等分，如圖2所示。分點為每個小區間的長度每個小區間對應一個窄曲邊梯形；由于每個曲邊梯形很窄，以右端點的函數值為高作矩形，其面積作為窄曲邊梯形面積的近似。這個窄曲邊梯形面積的有限和近似于曲邊梯形的面積即

上式中，當時，有限和為1.385； 時，有限和為1.338；時，有限和為1.334，不難想到，區間劃分無限加細。當小矩形的個數時，每個矩形的寬度上述有限和的極限

即為所求曲邊梯形的面積。

將以上引例一般化，再給出定積分定義，通過分析具體的曲邊梯形面積求解過程，可使學生對近似值到精確值的過渡與跨越產生更加直觀、感性的認識，從而能較自然地理解定積分概念的實質。

2 微積分學基本公式的教學

顯然，由定積分的定義來計算定積分，即求黎曼和的極限，其困難可想而知，沿著解決定積分的計算問題這一主線，進入微積分學基本公式的教學。它不僅揭示了導數與微分的內在聯系，更提供了計算定積分的方法。

此時。引入原函數與不定積分的概念恰到好處。這樣，原先教學安排中“不定積分—定積分”順序模式中二者并列平等的地位，將演變為以定積分為主線的教學，其中，不定積分內容只作為定積分的計算教學中的一個環節，一個鋪墊，一個步驟，學生的認知體系結構也得以明確、精簡。即，教學內容順序安排如下。

“原函數與不定積分—積分上限函數—微積分學基本公式。”至此，學生可以明確認識到.定積分與不定積分概念的本質區別，定積分是黎曼和的極限，而不定積分則是微分的逆運算，是原函數的全體，通過定積分與不定積分定義的對比，更能加深學生對定積分定義的清晰理解。接著，對微積分基本公式的學習，學生不僅能明白微分與積分的內在聯系，更能把握利用原函數計算定積分的理論依據。

學生已能運用微積分學基本公式計算簡單的定積分，并能看出，不定積分與定積分的計算既有區別，又有聯系，其切合點就是被積函數的原函數，定積分則是將求不定積分過程與微積分學基本公式有機結合起來，計算過程完全相似。

3 積分的計算方法

積分是微分的逆運算。其求解要難于微，除了基本積分公式表中的積分外，計算積分的思路是對被積函數或被積表達式進行恒等變形后再積分。

對被積函數進行恒等變形后，采用基本積分公式進行積分（稱為直接積分法）；對被積表達式進行恒等變形時常用積分方法有三種：湊微分法、變量代換法及分部積分法。下面以湊微分法為例闡述定積分的計算。

湊微分法的實質是借助一階微分形式不變性，擴展了基本積分公式的適用范圍，其理論依據可以進一步得以明確，即積分形式不變性

定理（積分形式不變性）若 則

其中可微。

證明因為：

所以由微分形式不變性，可微，則。

兩邊積分，得

定積分形式不變性將湊微分法的思想以明確形式給出，更利于學生對湊微分法的理解與運用，從而，基本積分公式應用更為靈活、廣泛了。

接下來，舉例體會不定積分和定積分計算的異同。

例：求積分

（1）；（2）

解（1）

（2）

（2）

通過例題進行對比，不定積分與定積分的計算既有區別，又有聯系，共同之處在于二者都包含了求原函數的過程，區別則體現在兩種積分的結果。

變量代換法與分部積分法的教學也可參照以上思路來進行。

筆者以為，以定積分為主線，整合不定積分與定積分的教學內容，無論從學生學習知識角度，或是教師教學角度，無疑不是一個新的嘗試與探索。

參考文獻

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