淺析運用一元一次方程解決實際問題

摘 要：在初一數學上冊教材中實際問題與 一元一次方程是個關鍵和重點的內容，一元一次方程灌穿第三章。通過總結解一元一次方程的基本過程和解決實際問題時注意的要點，不僅有利于教師開展教學工作，也有利于學生的學習。讓學生更好的掌握運用一元一次方程解決實際問題的方法，抓住本節內容的重點，在學習中少走彎路和發現不足處。

關鍵詞：一元一次方程 主要類型 要點分析 等量關系

中圖分類號：G634 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）04（b）-0052-01

在初一數學教材第三章第四節中有個內容是一元一次方程在解決實際問題的應用。對于這類問題，我做了幾種分類并總結了解一元一次方程的基本過程，而且對此進行了相應的分析，總結了運用一元一次方程解決實際問題的要點。歸納并總結了書上以及別的文獻上的相關內容，最后提出了自己的見解和觀點。

一元一次方程主要是下面這種類型：

未知數的個數為一個的一元一次方程。例如：當未知數為x時、一元一次方程為ax+b=c，其中a不能為零，bc為任意的有理數。

同樣當未知數分別為y、z、m，n等其中任意一個未知數時，方程為ay+b=c、az+b=c、 am+b=c，an+b=c，其中a不能為零，bc為任意的有理數。

解一元一次方程的基本過程為：

設未知數；根據等量關系列方程；解方程，未知數的系數化為1。

如果運用一元一次方程解決實際問題，其基本過程為：

根據實際問題設未知數；根據等量關系列方程；解方程；未知數的系數化為1，檢驗方程的根是否為方程的解。

運用一元一次方程解決實際問題主要分為以下幾種類型：（1）解決增長率問題；（2）利用一元一次方程解決選擇儲蓄方式；（3）利用一元一次方程解決個人所得稅計算問題；（4）利用一元一次方程計算水費；（5）利用一元一次方程計算路程。

在運用一元一次方程解決實際問題時有以下要點：（1）當方程中左右兩邊有同類項時，要移項，移項時所移的項要變號；（2）當方程中左右兩邊有括號要去括號，運用去括號的兩條法則；（3）當方程中左右兩邊未知數的系數為分數時，要去分母，兩邊同時乘以未知數的系數分母的最小公倍數；（4）當方程的同旁有同類項時，要合并同類項；（5）未知數的系數一定要化為1。

下面就舉出實例來一一論證。

實例1：利用一元一次方程計算水費。

例1，我國有很多城市的水資源很缺乏，為了減少水資源的浪費，加強居民節水意識，很多城市制定了用水收費標準一城市規定了每戶每月的標準用水量，不超過標準用水量按每立方米2.8元收費，超過標準用水量按每立方米4元收費。該市小華一家六月份用水量為8立方米，需交水費為29元。問該市規定的每戶標準用水量是多少立方米？

分析：由于2.8×8=22.4<29，因此8立方米超過標準用水量。等量關系為：

總收費=標準用水量交費+超過標準用水量交費。

解：設每戶標準用水量為x立方米。因為2.8×8=22.4<29所以小華一家用水量超過標準用水量，由題意得：

2.8x+4（8-x）=29

去括號，得：2.8x+32-4x=29

移項，得：2.8x-4x=29-32

合并同類項，得：-1.2x=-3

系數化為1，得：x=2.5

答：該市規定的每戶標準用水量是2.5 m3。

實例2：利用一元一次方程計算路程。

例2，甲乙兩人分別從王家莊到李家村兩地出發相向而行，已知兩地相距為145千米。甲從王家莊出發先走20分鐘，后來乙也從李家村出發，乙每小時比甲多走5千米，一小時后兩人相遇。問甲乙兩人分別走的路程為總路程幾分之幾？

分析：題中的不變量為總路程，所以等量關系為：總路程=甲走的路程+乙走的路程。

解：設甲每小時走x千米，則乙每小時走（x+5）千米，由題意列方程得：

20/60x+（x+x+5）×1=145

去分母，得：20x+60（2x+5）=145×60

去括號，得：20x+120x+5×60=145×60

移項，得：20x+120x=145×60-5×60

合并同類項，得：140x=8400

系數化為1，得：x=60

則20/60x+x=80 x+5=65

80/145=16/29 65/145=13/29

答：甲乙兩人分別走的路程為總路程的16/29和13/29。

一元一次方程也可以轉化為一次函數。如一元一次方程ax+b=c，其中bc為任意的有理數且a不能為零。當把a看作k時、x看作自變量x、c看作因變量y時，ax+b=c就變為一次函數y=kx+b，這時就可以用一次函數來解決實際應用題。

一元一次方程也可以轉化為二元一次方程。當把一元一次方程ax+b=c（a不能為零）中的b看作另一未知數y、z、w、m，n等其中的任一個時，ax+b=c就可以變ax+y=c、ax+z=c、ax+w=c、ax+m=c，ax+n=c（這些方程中a和c可以不取同一個值且是任意的有理數）等。當同一實際應用題中由存在一個不確定值變為兩個時就可以把原來的一元一次方程轉化為二元一次方程來解決應用題。

同樣一元一次方程也可以轉化為三元一次方程。當把一元一次方程ax+b=c（a不能為零）中的b看作是由y、z、w、m，n等其中任兩個未知數組成的時，ax+b=c就可以變ax+y+z=c、ax+z+w=c、ax+w+m=c、ax+m+n=c，ax+y+n=c等。（這些方程中a和c可以不取同一個值且是任意的有理數）等。當同一實際應用題中由存在一個不確定值變為三個時就可以把原來的一元一次方程轉化為三元一次方程來解決應用題。

依次類推一元一次方程也可以轉化為N元一次方程（這里N為無限大的正整數）。當把一元一次方程ax+b=c（a不能為零）中的b看作是由y、z、w、m，n等其中任N-1個未知數組成的時，ax+b=c就可以變ax+y+ z+w+m+n+…=c、ax+ z+w+m+n+…=c、ax+w+m+n+…=c、ax+m+n+…=c，ax+y+n+…=c（這些方程中a和c 可以不取同一個值且是任意的有理數）等。當同一實際應用題中由存在一個不確定值變為N個時就可以把原來的一元一次方程轉化為N元一次方程來解決應用題。

實際問題中的一元一次方程還有其它不同種類，在解決這些實際問題中，除了以上基本過程和方法外，主要在于平時的學習和歸納及總結，就可以提出獨特的觀點和見解。

參考文獻

[1] 徐斌艷，主編.數學課程與教學論[M].浙江教育出版社，2003.