解密“圖形面積”

摘 要：圖形面積教學在小學數學中占有較大的比重。就教材中對該部分知識的編排，以及平面圖形公式推導方法及體現的數學思想予以全面討論。

關鍵詞：圖形面積；公式推導；數學思想

在小學數學中，圖形的面積是義務教育課程體系“圖形與幾何”部分的重要內容，它的教學為學生掌握“測量”方法、解決求平面圖形面積的實際問題提供了理論依據，也為后續的求體積教學提供了知識基礎，有著十分重要的學科地位。

滲透數學思想方法可以說是教材編寫的原則。在整個數學學習過程中，不僅要讓學生學會知識，形成技能，更重要的是形成數學思想和方法，只有這樣，才能體現數學學科學習的意義和價值。

一、長方形、正方形面積公式推導

第一學段編排的“長方形、正方形面積的計算”是平面圖形面積計算的基礎，后續圖形面積公式都是在此基礎上推導而成的。由于學生之前僅知道面積的意義，初步感知了面積的大小，但對面積的認識還不全面，可以說這部分教學是一個全新的知識領域。所以教材在編寫這一部分知識過程中重點強調猜想、估計、實驗、歸納、驗證等數學思想方法。

教學中的學具準備（如面積1平方厘米的小正方形，或面積1平方厘米方格紙等）是必不可少的，有效引導學生積極動手是基本學習方法。通過組織大量的活動，如用面積單位量、用學具擺等，學生不難發現長方形的面積等于長乘寬，用代數方法表示即為S=a×b。

在長方形面積計算教學完成之后，正方形面積的教學可以引導學生自學完成，也可以用多媒體手段，通過平移等方法讓學生知道正方形是特殊的長方形，正方形的面積和長方形面積的計算方法是一樣的，習慣上把正方形的長和寬都叫做邊長，因此就有正方形的面積等于邊長乘邊長，用代數方法表示即為S=a×a。

二、平行四邊形面積公式推導

這個內容安排在五年級上冊，學生已經有了比較豐富的圖形面積的知識基礎，代數知識基礎也初步形成，也積累了圖形面積的數學學習活動經驗。教學時，可以先讓學生用小正方形或方格紙估計平行四邊形的面積，讓學生通過比較估計一個平行四邊形的面積，激發學生探求知識的欲望。學生覺得這樣的估計不準確，也比較麻煩，他們就會想法子探索規律性的方法。

我們可以進一步引導學生通過分割、平移、拼擺的辦法把平行四邊形轉化為我們已經學習過的一種圖形。這個過程中分兩步：（1）學生用剪刀剪開平行四邊形。（2）把剪開的圖形拼成已經學習過的長方形。通過這一過程，學生很容易把平行四邊形轉化為一個長方形，不難求出平行四邊形的面積計算公式：S=ah。

這個過程應注意兩點：（1）剪開線可以沿著頂點，也可以向內延伸，但一定要沿著平行四邊形的高剪開；（2）不要把原平行四邊形和拼成的長方形，簡單地認為是把平行四邊形是長方形通過拉伸形成的。

三、三角形的面積公式推導

三角形的面積公式教學安排在平行四邊形的面積教學之后。之前的平行四邊形教學已經為學生學習三角形面積公式推導建立了知識基礎和方法，我們稍加引導，教學就可以完成。在這個過程中，可以提前讓學生用以前的方法，通過測量、估計三角形的面積，猜想三角形面積的計算方法。然后讓學生擺弄手中的三角形，通過對圖形的旋轉、平移、拼擺，看能不能轉化成我們已經學過的圖形——平行四邊形，通過引導學生互動交流，弄清三角形面積是拼成的平行四邊形面積的一半，實現了已有知識向新知的遷移，問題就已經解決。公式的表達式如：

四、梯形面積公式推導

梯形面積安排在三角形的面積教學之后，思想方法幾乎和三角形面積公式推導完全一樣。教師可引導學生積極探究，用兩個完全一樣的梯形，通過旋轉（翻轉）、平移，然后把它們拼擺成一個比較大的平行四邊形，平行四邊形的底是梯形上底和下底的和，高和梯形的高一樣。因為梯形的上底和下底是知道的，所以計算平行四邊形的面積的條件已經具備，稍加引導就可以得出理清數量關系，抽象出面積公式：

五、圓的面積公式推導

和前面已經學過的平面圖形不同的是，圓是由曲線圍成的，相對于其他的教學，學生可能感覺難度大一點。

傳統數學教學，為圓面積的推導制作了模型，通過把圓平均分成若干個扇形，再把這些扇形拼越來，就可拼成一個近似的平行四邊形，分得份數越多，越接近長方形，用長方形的面積公式進行遷移，就得到圓面積的計算公式。

因為這是數學研究的基本方法，所以義務教育教材編寫也是用這樣的無限分（極限）的思想，和解決其他圖形面積公式的方法一樣的，還是用分割、展開、旋轉、平移、拼擺等，實現未知圖形向已知圖形的轉化，實現知識的遷移。長方形的長（或平行四邊形的底）等于圓周長的一半，即長方形的寬（平行四邊形的高）等于圓的半徑，即r，這樣按照長方形和平行四邊形的面積計算公式，就可以得出圓的面積計算公式，問題得解。即：

總之，知識是基礎，方法是中介，思想才是本源。這部分內容的數學方法是在學生掌握了圖形的特征、運動變化等知識的基礎上，選取了圖形的分割、平移、旋轉、拼擺等方法，實現知識的正遷移。教學上引導學生通過觀察、猜想、估計、實驗、推理、驗證、交流、反思等數學學習活動，掌握知識，形成技能，從面積方面對平面圖形進行規律性的認識。教學中教師一定要體現學生的主體地位，用合作探究的學習方法，讓學生更好地掌握知識，參與知識的形成過程，形成數學學習活動經驗，更好地對學生滲透這些數學思想，有效地完成教學目標。

編輯 薛直艷