變量變換在解一階常微分方程中的應用

摘 要： 本文重點介紹幾個一般的變量變換形式在把一些特殊類型的一階常微分方程轉化為變量分離方程的應用，方便初學者掌握求解特殊類型的一階微分方程的技巧，為以后學習高階微分方程、線性微分方程組的求解提供必要的知識準備。

關鍵詞：變量變換；一階常微分方程；變量分類方程

一、形如=f(axm+byn+c)的方程，其中f(u)為u的連續(xù)函數(shù)

作變量變換u=axm+byn+c，則=maxm-1+nbyn-1=xm-1（am+

bnf(u)）即為變量分離方程.

二、形如=f(xmyn)的方程，其中f(u)為u的連續(xù)函數(shù)

作變量變換u=xmyn，則=mxm-1yn+mxmyn-1=[u(m+nf(u))]/x即為變量分離方程。

三、形如=f()的方程，其中f(u)為u的連續(xù)函數(shù)

作變量變換u=，則=nyn-1xm+mxm-1yn=[nf(u)-mu]/x即為變量分離方程。

四、形如=P(x)y+Q(x)(Q(X)≠0)的方程，通解為y=ue∫P(x)dx這里為任意常數(shù)

作變換u=u(x)，則=e∫P(x)dx+u(x)P(x)e∫P(x)dx=P(x)u(x)e∫P(x)dx+Q(x)，解此方程，最后代回原變量得到方程的通解為y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e-∫P(x)dxdx+)。

五、形如=f()的方程，其中≠，c1，c2不全為零

作坐標變換令，則==g()求解此方程，最后代回原變量即可得到原方程的解。

六、形如M(x，y)（xdx+ydy）+N（x，y）(xdy-ydx)=0的方程，其中M，N為x，y的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同

作極坐標變換令x=ρcosθ，y=ρsinθ（ρ#1051880;0，θ∈［0，2π］），則原方程變?yōu)镸(ρcosθ，ρsinθ)ρdρ+N(ρcosθ，ρsinθ)ρ2dθ即為變量分離方程。

七、形如y=f(x，)的方程的解法

這里假設函數(shù)f(x，)有連續(xù)的偏導數(shù)，引進參數(shù)=P，則變?yōu)閥=f(x，p)，對兩邊x求導數(shù)并以=P代入，得到P=+①若求得①式通解形如為p=#981;(x，c)，將它代入f=f(x，p)即可得到原方程的解。若求得①式通解形式為x=ψ(p，c)，則得到原方程的通解為x=ψ(p，c)

y=f(ψ(p，c)，p)，c是任意常數(shù)。若求得①式的通解形式為Φ(x，p，c)=0，則得到的原方程的通解為Φ=(x，p，c)

y=f(x，p)，c為任意常數(shù)。

八、形如F(x，y′)=0的方程

從幾何的觀點看，F(xiàn)(x，p)=0代表QXP平面上的一條曲線，設把這曲線表為適當?shù)膮?shù)形式x=#981;(t)

y=ψ(t)，這里t為參數(shù)，再注意到，沿方程F(x，y′)=0的任何一條積分曲線上恒滿足基本關系dy=pdx，把x=#981;(t)

y=ψ(t)代入上式得dy=ψ(t)#981;′(t)dt，兩邊積分得到y(tǒng)=∫ψ(t)#981;′(t)dt+c，則得到方程的參數(shù)形式的通解為y=∫ψ(t)#981;′(t)dt+c，c為任意常數(shù)。