有關一般參數與自然參數的討論

摘 要：本文主要研究了微分幾何中一般參數和自然參數的關系，及其它們在應用中的區別與聯系。

關鍵詞：一般參數；自然參數；伏雷內標架

微分幾何學是運用數學分析的理論研究曲線或曲面在它一點鄰域的性質。換句話說，它是研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質的數學分支學科，對于三維歐氏空間中的一條光滑曲線，用它的參數方程的若干次微商構造適當的代數表達式或它的積分可以得到它的弧長、曲率和撓率，它們刻畫了曲線的形狀和大小，并且兩條曲線能夠在一個剛體運動下彼此重合，也可以用它的參數方程的若干次微商構造曲線的有關平面，或刻畫平面的形狀和位置。所以，一般參數與自然參數對微分幾何是非常重要的，下面討論一下微分幾何中一般參數和自然參數的問題。

一、對一般參數和自然參數概念的研究及它們的關系

微分幾何學以光滑曲線(曲面)作為研究對象，所以整個微分幾何學是由曲線的弧線長、曲線上一點的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關性質，則平面曲線在一點的曲率和空間的曲線在一點的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內容，而要計算曲線或曲面上每一點的曲率就要用到微分的方法。微分幾何中最基礎的就是三維歐氏空間的曲線和曲面問題，在曲線論和曲面論中經常會遇見自然參數和一般參數，所以一般參數和自然參數對微分幾何是非常重要的基礎知識。大多初學者搞不清楚一般參數和自然參數有什么關系，它們有什么作用，在實際做題中到底怎樣處理。

假設一般參數定義為:r(t)={x(t)，y(t)，z(t)}，t∈[a，b]

上式稱為曲線C的參數方程，t稱為曲線C的一般參數，上式中的t不具有幾何意義，并且按照參數增加的方向自然地確定了曲線C的正向，弧長參數S為：S=dt，它表示曲線C從r(a)到r(t)之間的長度，以下還假定曲線C的坐標函數都具有三階連續導數，也就是曲線具有三階導，即在某種意義上它們是有關系的，我們是通過曲線的一般參數求出某段曲線的弧長，使s用t表示，并且要符合自然參數的條件，才可以把一般參數轉化為自然參數，并且兩條曲線能夠在一個剛體運動下彼此重合的充要條件是它們的弧長相同，并且曲率和撓率作為弧長的函數也對應地相同。換句話說，就是一般參數與自然參數的概念是有關系的，我們是先定義一般參數，然后再定義自然參數。

二、一般參數與自然參數在空間基本三棱形（伏雷內標架）中的應用

在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點鄰域的性質，常常用所謂“活動標形的方法”。對任意曲線的“小范圍”性質的研究，還可以用拓撲變換把這條曲線“轉化”成初等曲線進行研究。在微分幾何中，由于運用數學分析的理論，就可以在無限小的范圍內略去高階無窮小，一些復雜的依賴關系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。也就是說，研究微分幾何最基本的就是要學好數學分析。曲線和曲面的一般方法是在其上建立笛卡爾直角坐標系，可以是曲紋坐標系，也可以是其它坐標系，然后運用代數運算微分積分以及微分方程等工具來研究它們的性質。坐標系是附加在空間上以便于用代數手段表示和研究幾何對象的一種構造，幾何對象的性質與坐標系的選取是無關的，不同的參照系給出不同的局部坐標，適當的坐標系可以簡化運算。先了解一下空間曲線的基本三棱形，曲線C的參數方程為r=r(s)，S是弧長參數，p(s)是曲線C上參數為S即向徑為r=r(s)的一個定點，給C類曲線和上一點P，曲線的自然參數為r=r(s)，曲線的切向量設為a==，α稱為曲線點P上的切向量，又因為自然參數|(t)|=1，因此|α|=1。很顯然，⊥α即⊥，在上取單位向量β==，β為曲線上的主法向量，我們在做向量γ=α×β，γ稱為曲線上的副法向量，把兩兩正交的α、β、γ成為上點的伏雷內標架，α、β、γ按此順序構成右手，因此可以定出法平面、密切平面、從切平面、主法向量、副法向量和切向量之間的關系。

我們從伏雷內標架可以看出，自然參數的表達式只與曲線本身有關，與剛體運動及空間坐標無關。但一般參數就不一樣了，自然參數有利于我們研究微分幾何中曲線和曲面，自然參數對研究微分幾何中理論問題的重要性，在求解過程中，我們可以借助伏雷內標架，通過它們之間的關系來靈活求解。因為我們研究的是歐氏幾何，伏雷內標架可以將無限化為有限來解決，便于實際操作。后面還要學習空間曲線的曲率和撓率，空間曲線論的基本公式和基本定理，空間曲面的第一、第二基本形式，法曲率和漸近線。對坐標的研究就是為了更容易地研究空間的曲線和曲面，特別是特殊的曲線與曲面有明晰的空間位置、形狀、曲率、撓率，這樣在學習微分幾何時，就可以用向量分析方法來解決，從而達到數與形的統一，統一的數量與空間的觀念，從而解決微分幾何中的問題。

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