導(dǎo)數(shù)思想在解決函數(shù)問(wèn)題上的靈活應(yīng)用

摘 要：導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，它有極其豐富的實(shí)際背景和廣泛應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)更是研究函數(shù)性質(zhì)的強(qiáng)有力的工具，在解決函數(shù)單調(diào)性、最大值和最小值等問(wèn)題時(shí)，不但避開(kāi)了初等函數(shù)變形的難點(diǎn)，證明的繁雜，而且使解法程序化，變“巧法”為“通法”，優(yōu)化解題策略、簡(jiǎn)化運(yùn)算，具有較強(qiáng)的工具性作用。在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，極值，最值問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù) 函數(shù)單調(diào)性 極值 最值

中圖分類(lèi)號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2014）01（a）-0085-01

1 用導(dǎo)數(shù)求解某些函數(shù)的單調(diào)性，具有簡(jiǎn)潔高效的特點(diǎn)

定理：設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則：

（1）如果在內(nèi)，那么函數(shù)y=f（x）在內(nèi)單調(diào)增加。

（2）如果在內(nèi)，那么函數(shù)y=f（x）在內(nèi)單調(diào)減少。

例1：討論的單調(diào)性。

分析：函數(shù)定義域?yàn)镽，現(xiàn)在令，解得，

當(dāng)或時(shí)，，∴函數(shù)在和上是增函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在（-2，2）上是減函數(shù)。

例2：設(shè)函數(shù)，其中，求的單調(diào)區(qū)間。

解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)椋海摇?/p>

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減。

（2）當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減。

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增。

例3：設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，求的單調(diào)減區(qū)間。

解：，令，得，由，得或。

又，時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由得 ，即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為。

例4：設(shè)≥0時(shí)，

，令，討論在內(nèi)的單調(diào)性。

解：根據(jù)求導(dǎo)法則有

，，

于是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)。

2 用導(dǎo)數(shù)求解連續(xù)函數(shù)的極值和最值時(shí)，同樣具有幾乎公式化的解題方法

如果函數(shù)在上連續(xù)，則在上一定有最大值M和最小值m，一般先求出在內(nèi)的一切駐點(diǎn)和一切不可導(dǎo)點(diǎn)，再比較這些駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值以及在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，最大者就是函數(shù)的最大值M，最小者就是函數(shù)的最小值m。由上述分析可知，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值的步驟為：

（1）確定函數(shù)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù)。

（2）解方程，求出的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)。

（3）討論在鄰近駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左，右兩側(cè)符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn)。

（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值。

例5：求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。

解：（1），

令，得函數(shù)定義域內(nèi)的駐點(diǎn)為：其函數(shù)值分別為：。

（2）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值分別為：。

（3）比較以上各函數(shù)值，可以得到，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為。

例6：求函數(shù)的極值。

解：函數(shù)定義域?yàn)镽。

，令，得或：當(dāng)或時(shí)，。∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在（0，2）上是增函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值。

例7：求函數(shù)的極值。

解：函數(shù)的定義域?yàn)镽。

令，得。當(dāng)或時(shí)，，

∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，。

∴函數(shù)在（-1，1）上是增函數(shù)。∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值。

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值。

導(dǎo)數(shù)是分析和解決函數(shù)問(wèn)題的便利的、必不可少的工具，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，可以對(duì)解決一些單調(diào)性問(wèn)題，最值問(wèn)題，產(chǎn)生意想不到的效果，因此，在平時(shí)學(xué)習(xí)教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)加以研究及應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

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