研究數(shù)學(xué)題目之探討

摘 要：“新課改”倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)“自主、高效、優(yōu)質(zhì)”課堂。作為一名數(shù)學(xué)教師，如何迎接新課改，不僅要會(huì)做題，出題，更要在做題，出題時(shí)有研究題目的意識，養(yǎng)成對題目進(jìn)行研究的良好習(xí)慣。不要為了出題而出題，也不要為了解題而解題，要通過研究題目的形式、過程達(dá)到既出題又解題；既研究又創(chuàng)新；以變應(yīng)變，以少勝多；發(fā)展智力，培養(yǎng)能力。

關(guān)鍵詞：研究題目 習(xí)慣 創(chuàng)新 提高能力

中圖分類號：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）01（a）-0025-01

“新課改”倡導(dǎo)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)“自主、高效、優(yōu)質(zhì)”課堂。作為一名數(shù)學(xué)教師，如何迎接新課改，不僅要會(huì)做題，出題，更要在做題，出題時(shí)有研究題目的意識，養(yǎng)成對題目進(jìn)行研究的良好習(xí)慣。不要為了出題而出題，也不要為了解題而解題，要通過研究題目的形式、過程達(dá)到既出題又解題；既研究又創(chuàng)新；以變應(yīng)變，以少勝多；發(fā)展智力，培養(yǎng)能力。本人結(jié)合自己的體會(huì)從六個(gè)方面談?wù)剬ρ芯款}目的看法。

1 研究題目的題設(shè)—— 一問多設(shè)

研究題目的題設(shè)主要是研究題目條件的替換、條件的增減、條件的改變對結(jié)論的影響，從而創(chuàng)造出一些似曾相識的新題目。一般表現(xiàn)為一問多設(shè)。研究題設(shè)，能較快的提高學(xué)生判斷題目、分析題目、欣賞題目的水平，很好地培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力、審題能力、審美能力，形成用好條件，用足條件的良好解題習(xí)慣。

2 研究題目的結(jié)論—— 一題多問

結(jié)論的“副產(chǎn)品”，結(jié)論的加強(qiáng)，題目的發(fā)揮等都是研究結(jié)論要解決的問題。通常說的“一題多問”就是對結(jié)論的一種探索研究。這為構(gòu)造并列型、遞進(jìn)型多問題提供了一種模式。如果逐步增加一些條件，還能構(gòu)造出一些混合型的高難度多問題、綜合題。對它們進(jìn)行研究，可以輕松解除學(xué)生對試卷壓軸題、高難度綜合題的恐懼心理，準(zhǔn)確識破高難度多問題、綜合題“難”的真面目，尋找解決問題的途徑，找到解決問題的關(guān)鍵。

3 研究題目的解法—— 一題多解

確定的題目，往往不止一種解法，對其解題途徑、思想方法等的研究、多種方法的比較、篩選等就是一題多解。研究題目的解法，可使學(xué)生靈活地、綜合地運(yùn)用已學(xué)知識，多角度、多側(cè)面分析問題，促使學(xué)生提高解題速度，確保解題質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生精益求精的科學(xué)精神，全面增強(qiáng)學(xué)生綜合素質(zhì)。

4 研究解法的程序—— 一法多變

相同的題目，運(yùn)用同一種方法，因?yàn)榻獯鸪绦蛟O(shè)計(jì)不同，順序不同，其運(yùn)算量、解答速度等不盡相同。對解答步驟的優(yōu)化設(shè)計(jì)，解答結(jié)果的反饋等其實(shí)就是一法多變。研究一法多變，能使學(xué)生思路合理化，格式規(guī)范化，步驟條理化，書寫科學(xué)化。培養(yǎng)學(xué)生的書面表達(dá)能力和文字交流能力。

5 研究題目的變化—— 一題多變

研究題目的變化是從總體上研究題目的發(fā)揮、變化、創(chuàng)新。研究題目的背景、情境、發(fā)揮、發(fā)展；題目的特殊化、一般化；題目的變異、再創(chuàng)造；題目與生活實(shí)際相結(jié)合，與其他科學(xué)知識綜合等。這是“生產(chǎn)”新題目、新題型的一種重要方式，也是提高學(xué)生解決開放題型、創(chuàng)新題型、實(shí)際應(yīng)用題型能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的中要“基地”。

6 研究題目的用途—— 一法多用

將解題的方法一般化，上升為解決一部分題目或一類題目的通法、通則，或?qū)⒔忸}方法從不同角度、從不同側(cè)面特殊化，對解法適用的條件、解決問題的策略進(jìn)行研究，將其概括為一法多用。對一法多用的研究為學(xué)生舉一反三，觸類旁通，融會(huì)貫通，高效率的學(xué)習(xí)，為減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)提供了一種途徑。

在研究題目的實(shí)際過程中，不一定要面面俱到，也可以從其它的方面進(jìn)行研究，本文只不過希望能起到拋磚引玉的作用。下面以一道數(shù)學(xué)例題說明：

例題：已知圓C：（4，點(diǎn)D（2，0），求過點(diǎn)D且與圓C外切的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。

一問多設(shè)：例題條件中，點(diǎn)D在圓C外，將點(diǎn)D坐標(biāo)改為（0，0）或（-1，0），則點(diǎn)D在圓C上或點(diǎn)D在圓C內(nèi)，可得到兩道很好的練習(xí)題，此時(shí)動(dòng)圓圓心M的軌跡有質(zhì)的變化。

一題多問：將例題結(jié)論部分（也可作條件處理）外切改為內(nèi)切或相切或相離（兩圓最短距離為1）等，可得到不同的變式。

一題多解：本例題可用定義法、直接法等求解（解法略），經(jīng)過比較可發(fā)現(xiàn)定義法較好。

一法多變：本例在用定義法求解時(shí)可先求出雙曲線方程，再排除掉雙曲線的左支；也可先指出M的軌跡是雙曲線的右支，然后再求出其方程。用直接法求解時(shí)同樣可做類似研究。

一題多變：

題1：已知直線l：x=-2，點(diǎn)D（a，b），求過點(diǎn)D且與直線l相切的動(dòng)圓圓心M的軌跡（方程）。

①a=2，b=0

②a=-2，b=0

題2：求與已知直線a，b都相切的動(dòng)圓圓心M的軌跡（方程）。

①直線a：x=-2，直線b：x=2

②直線a：y=x，直線b：x=2

題3：已知圓C，直線l，求與直線l相切且與圓C*的動(dòng)圓圓心M的軌跡（方程）。

①圓C：（4，直線l：x=2，*為外切

②圓C：（4，直線l：x=2，*為內(nèi)切

③圓C：（4，直線l：x=2，*為相切

④圓C：4，直線l：x=2，*為相切

⑤圓C：4，直線l：x=1，*為內(nèi)切

⑥圓C：4，直線l：x=2，*為相交，公共弦長為1

題4：求與已知圓C*且與已知圓D#的動(dòng)圓圓心M的軌跡（方程）。

①圓C：（1；圓D：（1；*外切，#內(nèi)切。

②圓C：（1；圓D：（4；*內(nèi)切，#外切。

③圓C：（1；圓D：（4；*相切，#相切。

④圓C：（1；圓D：（9；*內(nèi)切，#內(nèi)切。

⑤圓C：（1；圓D：（9；*外切，#內(nèi)切。

⑥圓C：（1；圓D：（9；*相切，#相切。

⑦圓C：1；圓D：（16；*外切，#內(nèi)切。

一法多用：本例所用方法均可用于解決以上各題。

可以相信：只要師生長期堅(jiān)持研究題目，養(yǎng)成研究題目、研究問題的習(xí)慣，就一定能大大減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，最大限度地提高教育教學(xué)效果，確保教育教學(xué)質(zhì)量，切實(shí)實(shí)施素質(zhì)教育，為民族培養(yǎng)出跨世紀(jì)的創(chuàng)新精英。

參考文獻(xiàn)

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教課書（數(shù)學(xué)2）[M].人民教育出版社出版.

[2]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教課書教師教學(xué)用書（數(shù)學(xué)2）[M].人民教育出版社出版.

[3]普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試說明[Z].2001.