淺談構造模型法在高中計數原理中的應用

高中計數原理和排列組合中的習題種類繁多，結構錯綜復雜、解題方法更是層出不窮，千變萬化.計數原理難，難就難在沒有一個固定的，不變的統一的模式.這就對相當多的高中學生的學習產生一定的困惱，他們經常在面對計數原理和排列組合問題時感覺到無從下手.盡管如此，對有些類型的習題，我們只要認真觀察，分析題型結構，或只須稍加變形，便可把它納入到一個模型，從而使問題得到解決.這種方法稱為構造模型法.

高中學生在面對新問題時，首先是回顧自己和老師講解過的類似的舊問題的解決方法，其目的是企圖從中尋求參照物，然后對其進行模仿試驗，從而使得新問題獲得解決.這種思維活動，美國數學教育家G.波利亞在《怎樣解題？》一書中曾有過精辟的論述，他就指出：“解題，比如，就好像游泳一樣，是一種技能.當你學習游泳時，你模仿其他人的手足動作使頭部保持在水面上并最后通過實踐（實地練習游泳）來學會游泳.試圖解題時，你必須觀察并模仿其他人在解題時的所作所為，并且最后通過實踐學會解題.”構造模型法是人們的一種科學思維活動，是一種在“變”中求“不變”的思考方法.在解題過程中，當你為一個難題苦思冥想時，不妨對自己提出此題是否可以經過適當變形，進行類比、歸納，把問題轉化為某種題型模式呢？綜合新舊知識，把握住知識內在聯系，廣泛聯想一旦發現某種模式，問題便迎刃而解.因此，我們在教學過程中，特別是在解題過程中，應特別強調常規模型的構造和應用模型.

計數原理和排列組合是高中數學中相對獨立性較強的一部分，也是密切聯系實際應用性較強的部分.其思考方法和解題技巧都有些特殊性.具備概念性強、靈活性強、思維方法新穎等特點.分類加法計數原理和分步乘法計數原理是解決生活、生產及科學研究中計數問題的理論依據，這里不再具體說明.下面我將把十幾年高中數學教學中總結的計數原理和排列組合的常規模型進行一一說明，希望能對其他教師的教學和學生的學習有所幫助.

模型1 映射問題

例1 已知集合{}Aa b c=，，，{1 2 3 4}B =，，，，那么集合A到集合B的映射有幾種？

碰到這種兩類元素對應問題，我們應選擇其對應元素為只有唯一選擇的元素為研究對象.在例1中，集合A中的元素在集合B中有且只有一個元素與其對應，而集合B中的元素在集合A中可能有多種選擇.所以，為了研究方便，我們應選擇集合A中的元素作為研究對象.對于a而言有4種對應，對于b而言有4種對應，對于c而言有4種對應.所以集合A到集合B的映射有4×4×4=64種.

在解決這類問題時，步驟為：①先進行正品、次品等性質的分類.②確定抽出產品中的正品數和次品數.③按正品從正品中抽，次品從次品中抽的原則進行分類分步分析.

這六個模型，我都是遵循從“特殊→一般→特殊”的原則，先具體事例分析，再從中抽取這類問題的核心要素，建立通用模型，理清模型的結構特點，再來指導具體案例.通過上面的幾個模型可以看出，構造模型法就是將一類問題中一些共性的東西通過類比、歸納，把問題轉化為某種題型模式，從而使問題得到解決的方法.我們應用構造模型法解決計數原理和排列組合中的問題還有很多，這里就不再一一列舉了.

在最后，我們必須強調指出：應用構造模型法解題的關鍵在于建立模型和應用模型.使學生不僅能夠根據老師分析出的模型而模仿著解決某些類似問題，而且還能模仿老師分析出模型而自行構造模型，用來解決某些類似的問題.這樣就使模仿能力產生了一個飛躍，把初級模仿上升為高級模仿.因而也就有了創造性.另一方面，解題是一種技能，作為一種技能，單憑模仿還是不夠的，必須還要親自反復實踐多次，這樣才能真正學到手.因此，在教學過程中，在解題過程中，教師應經常有目的、有計劃、有步驟的對學生進行訓練，達到從模仿到創造的境界.

參考文獻

[1]鄭毓信.數學方法論.廣西：廣西教育出版社，2000[2][美]波利亞.怎樣解題.北京：科學出版社，1982