一類分配問題的組合解法

引例 某校從高一年級的8個班選拔學生組建一支10人的藍球隊，每班至少1人參加，一共有幾種名額分配方案？如果允許部分班級沒有選到呢？

分析 構造一個思維模型，把10個名額設想成排成一排的10枚棋子，依次分成8個組，每組至少1枚，可在10枚棋子之間的9個空隙中選取7個用插板隔開即成8個組，從左到右的每組棋子枚數就等于分配給相應各個班的名額數，因此共有7 C36=種分配方案.

如果允許部分班級沒有選到即部分班級的名額數為0，用對應思想進行等價轉換，考慮每個班各增加一個名額，8個班共增加8個名額，于是問題等價轉化為：從8個班中選拔10+8=18人，每班至少1人，有幾種名額分配方案？可把18個名額設想成排成一排的18枚棋子，從棋子之間的17個空隙中選7個空隙用插板隔開，將其依次分成8個組，有7

C種不同的名額分配方案.

對上述特例歸納總結可編制一個：

一般性問題：將m個名額分到n個單位去，每個單位至少r個名額（m，n是正整數，r是非負整數，且mnr≥），有幾種不同的分配方案？

例1 在一次工資套改中，編號為k（ k =1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8）的8位職工的工資f（ k ）取自于1600、1650、1750、1900、2100、2300等六個檔次，且滿足f（ k ）≤f（ k+1），這8位職工工資的所有可能情況的種數是多少？

解法1與解法2都是正確的，說明這兩個等式是成立的.再取若干組具體數字驗證，發現兩個等式是成立的.但如何用純組合知識證明這兩個等式真假？筆者還未能實現，盼望有興趣者探證之！

參考文獻

[1]朱麗強.一個組合問題的解法.數學通報，2007（1）：45