2013年高考陜西卷理科解析幾何題的探究與推廣

對于每一道試題，要善于挖掘試題的內涵，它們或是重要的結論，或是體現某種數學思想方法，或是某個一般數學命題的具體形式，它的延伸、推廣，可以呈現出豐富多彩的數學內容.若能進一步對其進行適當的發散研究，則可以讓達到深化認識、舉一反三的目的.

1 試題再現

2013年高考陜西卷理科第20題：

已知動圓過定點（4 0）A，， 且在y軸上截得的弦MN的長為8.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點（ 1 0）B？，，設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q， 若x軸是PBQ∠的角平分線， 證明直線l過定點.

解 （Ⅰ）動圓圓心的軌跡C的方程為28yx=（過程略）；

（Ⅱ）直線l過定點（1 0），（過程略）.

2 對試題作一般化的探究

解答完成后，我對試題進行觀察和反思，發現求得的結果：直線l過定點（1 0），，此點恰好與點（ 1 0） B？，關于原點對稱，這是巧合還是必然呢？能否把結論推廣到一般的拋物線上呢？經過探究，我發現這個結論是可以推廣的，于是得到關于一般拋物線一個定點的性質.

定理1 已知拋物線22（0）ypx p=>，點（0）Bm？，（0）m >，設直線l與拋物線相交于P，Q兩點，若x軸是PBQ∠的角平分線， 則直線l過定點（0）m，.

證明 如圖1，設直線l的方程為xtyn=+，

定理3的證明可仿照定理1、2的方法證得，此處不再贅述.

由以上定理不難發現，陜西省2013年這道高考解析幾何題，只是圓錐曲線一條普通性質下的特例而已.

參考文獻

[1]易正紅.兩道高考試題的探源與推廣.福建中學數學，2012（2）：12-15[2]葉洪康.一道圓錐曲線習題的探究所得.福建中學數學，2009（5）：21-22

[3]陳重陽.由一道考題引出一類二次曲線的等角性質.中學教研（數學），2011（7）：30-32